• Una matriz $\mathbf{A}$ es simétrica si $\mathbf{A}^{T}=\mathbf{A}$.

• Una matriz $\mathbf{A}$ es invertible si existe una matriz $\mathbf{A}^{-1}$ tal que $\mathbf{A}^{-1}\mathbf{A}=\mathbf{I}$ y $\mathbf{A}\mathbf{A}^{-1}=\mathbf{I}$.

  Si $\mathbf{A}^{-1}$ existe es única. También se dice:

  • Matriz regular: una matriz cuadrada que tiene inversa.

  • Matriz singular: una matriz que no tiene inversa (su determinante es cero).

• Se denomina matriz ortogonal a toda matriz $\mathbf{Q}$ real cuadrada no-singular cuya inversa coincide con su traspuesta:, esto es $\mathbf{Q}^{-1}=\mathbf{Q}^{T}$.

• La traza de una matriz es la suma de los elementos de su diagonal.

• $( \mathbf{A}^{T} )^{T}=\mathbf{A}$
• $( \mathbf{A}^{-1} )^{-1}=\mathbf{A}$
• $( \mathbf{A}\mathbf{B} )^{T}=\mathbf{B}^{T}\mathbf{A}^{T}$
• $( \mathbf{A}^{T} )^{-1}=( \mathbf{A}^{-1} )^{T}$
• $\mathbf{A}^{T}\mathbf{A}$ y $\mathbf{A}\mathbf{A}^{T}$ son simétricas.
• Si $\mathbf{A}$ y $\mathbf{B}$ son no singulares, entonces $( \mathbf{A}\mathbf{B} )^{-1}=\mathbf{B}^{-1}\mathbf{A}^{-1}$.

• El determinante de una matriz diagonal es igual al producto de sus elementos diagonales.
• Si $\mathbf{A}$ y $\mathbf{B}$ son matrices de dimensión $n \times n$ entonces $\text{det}(\mathbf{A}\mathbf{B})=\text{det}(\mathbf{B}\mathbf{A})=\text{det}\mathbf{A}\cdot \text{det}\mathbf{B}$.
• Si $\mathbf{A}$ es singular entonces $\text{det}(\mathbf{A})=0$.
• Si $\mathbf{C}$ es una matriz ortogonal entonces $\text{det}(\mathbf{C})=\pm 1$.
• Si $\mathbf{C}$ es una matriz ortogonal entonces $\text{det}(\mathbf{C}^{T}\mathbf{A}\mathbf{C})=\pm \text{det}(\mathbf{A})$.
• El determinante de una matriz definida positiva es positivo.

• $\text{traza}(\mathbf{A}^{T})=\text{traza}(\mathbf{A})$.
• $\text{traza}(k\mathbf{A})=k\text{traza}(\mathbf{A})$.
• $\text{traza}(\mathbf{A}+\mathbf{B})=\text{traza}(\mathbf{A})+\text{traza}(\mathbf{B})$.
• $\text{traza}(\mathbf{A}\mathbf{B})=\text{traza}(\mathbf{B}\mathbf{A})$.
• $\text{traza}(\mathbf{A}\mathbf{B}\mathbf{C})=\text{traza}(\mathbf{C}\mathbf{A}\mathbf{B})=\text{traza}(\mathbf{B}\mathbf{A}\mathbf{C})$.
• $\text{traza}(\mathbf{I}_{n})=n$.
• Si $\mathbf{C}$ es una matriz ortogonal entonces $\text{traza}(\mathbf{C}^{T}\mathbf{A}\mathbf{C})=\text{traza}(\mathbf{A})$.

Sea $\mathbb{R}^{m\times n}$ el conjunto de las matrices con $m$ filas y $n$ columnas y $\mathbf{A} \in \mathbf{R}^{m\times n}$

$$\mathbf{A}= \begin{pmatrix} \mathbf{a}_{1} & \ldots & \mathbf{a}_{n} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} & \ldots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & \ldots & a_{mn} \end{pmatrix}$$

donde $\mathbf{a}_i \in \mathbb{R}^{m}, \quad i = 1 \ldots n,$ son vectores columna (columnas de la matriz $\mathbf{A}$)

$$\mathbf{a}_{1}=\begin{pmatrix}a_{11}\\ \vdots \\ a_{m1}\end{pmatrix}, \ldots, \mathbf{a}_{n}=\begin{pmatrix}a_{1n}\\ \vdots \\ a_{mn}\end{pmatrix}$$

El espacio columna de la matriz $\mathbf{A}$ es el conjunto de vectores $\mathbf{y} \in \mathbb{R}^{m}$ que pueden escribirse como combinaciones lineales de las columnas de $\mathbf{A}$:

$$\mathbf{y}=\mathbf{a}_{1}x_{1}+\ldots +\mathbf{a}_{n}x_{n}\text{,} \quad \text{con } \; x_{1},\ldots,x_{n} \in \mathbb{R}$$

Se denomina espacio fila de la matriz $\mathbf{A}$ a $\text{Col}(\mathbf{A}^{T})$.

• El espacio columna de $\mathbf{A}$ es el espacio generado por las columnas de $\mathbf{A}$: $$\begin{align*} \text{Col}(\mathbf{A})& = \left\{ \text{combinaciones lineales de las columnas de } \mathbf{A} \right\} = \\ &=\text{Gen}\left\{ \mathbf{a}_{1},\ldots,\mathbf{a}_{n}\right\} =\left\{ \mathbf{y} \in\mathbb{R}^{m} \text{: } \mathbf{y}=\mathbf{A}\mathbf{x} \text{, para algún } \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n} \right\} \\ &=\left\{ \mathbf{y} \in\mathbb{R}^{m} \text{: } \mathbf{y}=\mathbf{A}\mathbf{x} \text{ es compatible (o consistente)} \right\} \end{align*}$$
• El espacio columna está definido explícitamente, ya que los vectores en Col$(\mathbf{A})$ se pueden construir (por medio de combinaciones lineales) a partir de columnas de $\mathbf{A}$. Es decir, está caracterizado por las ecuaciones paramétricas: $$\left\{ \begin{matrix} y_{1}=a_{11}x_{1}+\ldots +a_{1n}x_{n} \\ \vdots \\ y_{m}=a_{m1}x_{1}+\ldots +a_{mn}x_{n} \end{matrix} \right\}.$$
• El espacio columna de la matriz $\mathbf{A}$ es un subespacio de $\mathbb{R}^{m}$ y el espacio fila de la matriz $\mathbf{A}$ es un subespacio de $\mathbb{R}^{n}$.
• $\text{Col}(\mathbf{A})=\mathbb{R}^{m} \Leftrightarrow \text{La ecuación } \mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{y} \text{ tiene solución para cada } \mathbf{y} \in \mathbb{R}^{m}.$

Si $\mathbf{A}$ es una matriz cuadrada de orden $n$, entonces

$$\text{La matriz } \mathbf{A} \text{ tiene inversa } \Leftrightarrow \text{Col}( \mathbf{A} )=\mathbb{R}^{n}.$$

El espacio nulo de la matriz $\mathbf{A}$ es el conjunto de todas las soluciones posibles para la ecuación homogénea $\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{0}$. Esto es,

$$\text{Nul}(\mathbf{A})=\left\{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n} \text{: } \mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{0} \right\}$$

El espacio nulo de la matriz $\mathbf{A}^{T}$ se denomina espacio nulo izquierdo de la matriz $\mathbf{A}$.

• El espacio nulo de $\mathbf{A}$, Nul$(\mathbf{A})$, es un subespacio de $\mathbb{R}^{n}$ y su espacio nulo izquierdo es un subespacio de $\mathbb{R}^{m}$.
• El espacio nulo está definido implícitamente, ya que está caracterizado por las ecuaciones implícitas $$\left\{ \begin{matrix} a_{11}x_{1}+\ldots +a_{1n}x_{n}=0 \\ \vdots \\ a_{m1}x_{1}+\ldots +a_{mn}x_{n}=0 \end{matrix} \right\}.$$
• Nul$(\mathbf{A})={\mathbf{0} }$ $\Leftrightarrow \mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{0}$ no tiene solución no trivial.
• La dimensión de Nul$(\mathbf{A})$ es el número de variables libres en $\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{0}$.

Si $\mathbf{A}$ es una matriz cuadrada de orden $n$, entonces:

$$\text{La matriz } \mathbf{A} \text{ tiene inversa } \Leftrightarrow \text{Nul}(\mathbf{A})=0.$$

Una base para un subespacio $S \in \mathbb{R}^{m}$ es un conjunto de vectores linealmente independientes en $S$ que genera $S$.

La dimensión de un subespacio $S$ (diferente de cero) es el número de vectores en cualquier base de $S$.

Recordar que:

• dim$\left\{ 0 \right\}=0$
• dim$\left\{ \mathbb{R}^{m} \right\}=m$

El rango de una matriz $\mathbf{A}$ es la dimensión de su espacio columna (máximo número de columnas linealmente independientes). Es decir,

$$\text{rango}(\mathbf{A})=\text{dim}(\text{Col}(\mathbf{A}))=r$$

• rango$(\mathbf{A})=$ rango$(\mathbf{A}^{T})=r$.Esto es, el espacio columna y el espacio fila tienen la misma dimensión: $$\text{dim} \underbrace{ ( \text{Col}(\mathbf{A}) )}_{\substack{\text{subespacio de } \mathbb{R}^{m} \\ \text{ generado por las } \\ n \text{ columnas de } \mathbf{A}}} = \text{dim} \underbrace{ ( \text{Col}(\mathbf{A}^{T}) )}_{\substack{ \text{subespacio de } \mathbb{R}^{n} \\ \text{ generado por las } m \text{ columnas de } \mathbf{A}^{T} \\ \text{i.e., las } m \text{ filas de } \mathbf{A} }}$$

Si $\mathbf{A}$ es una matriz cuadrada de orden $n$, entonces:

$$\text{La matriz } \mathbf{A} \text{ tiene inversa } \Leftrightarrow \text{rango}(\mathbf{A}) = n$$

Sea $\mathbf{A}$ una matriz, con $\dim(\mathbf{A})=m \times n$. Se verifica:

$$\underbrace{\dim ( \text{Col}(\mathbf{A}) }_{r} + \underbrace{\dim ( \text{Nul}(\mathbf{A}) }_{n-r}=n$$

Esto es, rango$(\mathbf{A}) + \dim \left( \text{Nul}(\mathbf{A}) \right)=n$, lo que significa que el rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo.
Equivalentemente:

$$\underbrace{\dim ( \text{Fil}(\mathbf{A}) )}_{r} + \underbrace{\dim ( \text{Nul}(\mathbf{A}^{T}) )}_{m-r}=m$$

• rango$(\mathbf{A}\mathbf{B})\leq$ rango$(\mathbf{A})$ rango$(\mathbf{B})$
• rango$(\mathbf{A}+\mathbf{B})\leq$ rango$(\mathbf{A})+$ rango$(\mathbf{B})$
• Si dim$(\mathbf{A})=n \times n$, entonces: rango$(\mathbf{A})<n \Leftrightarrow$ det$(\mathbf{A})=0$ (los vectores fila (columnas) no son independientes).
• Si rango$(\mathbf{A})=m\leq n$, entonces el número de vectores fila (columnas) linealmente independientes es $m$.
• Si $\mathbf{A}$ es una matriz no singular, entonces rango$(\mathbf{A}\mathbf{B})=$ rango$(\mathbf{B}\mathbf{A})=$ rango$(\mathbf{B})$. Esto es, el rango de una matriz no varía si la multiplicamos por matrices invertibles.
• Si $\mathbf{A}$ y $\mathbf{B}$ son matrices $n \times n$ de rango $r$ y $s$, respectivamente, entonces rango$(\mathbf{A}\mathbf{B}) \leq r+s-n$.
• rango$(\mathbf{A}\mathbf{A}^{T})=$ rango$(\mathbf{A}^{T}\mathbf{A})=$ rango$(\mathbf{A})$.

• Se denomina producto escalar de dos vectores} de dos vectores $\mathbf{x}$, $\mathbf{y}\in \mathbb{R}^{n}$ al número real

$$\mathbf{x}\cdot \mathbf{y}=\mathbf{x}^{T}\mathbf{y}=\mathbf{y}^{T}\mathbf{x}=x_{1}y_{1}+\ldots+x_{n}y_{n} \in \mathbb{R}$$

• Se denomina norma de un vector} de un vector $\mathbf{x}\in \mathbb{R}^{n}$ al número real no negativo

$$|\mathbf{x}|=\sqrt{|x_{1}|^{2}+\ldots+|x_{n}|^{2}}=\sqrt{\mathbf{x}^{T}\cdot \mathbf{x}} \geq 0$$

• Se denomina distancia entre dos vectores $\mathbf{x}$, $\mathbf{y}\in \mathbb{R}^{n}$ al número real no negativo

$$d(\mathbf{x},\mathbf{y})=|\mathbf{x}-\mathbf{y}|$$

• Se dice que dos vectores $\mathbf{x}$, $\mathbf{y}\in \mathbb{R}^{n}$ son ortogonales ($\mathbf{x}\perp \mathbf{y}$) si

$$\mathbf{x}\cdot \mathbf{y}=0$$

• Se dice que un conjunto de vectores ${\mathbf{v}_{1},\ldots,\mathbf{v}_{m}}$ de $\mathbb{R}^{n}$ es un conjunto ortogonal si cada uno de los vectores $\mathbf{v}_{k}$ es ortogonal a todos los demás.
• Se dice que un conjunto de vectores ${\mathbf{v}_{1},\ldots,\mathbf{v}_{m}}$ de $\mathbb{R}^{n}$ es un conjunto ortonormal si es un conjunto ortogonal y cada uno de los vectores $\mathbf{v}_{k}$ tiene norma igual a uno.

$$\mathbf{v}_{i}\cdot \mathbf{v}_{j}=0 \text{, } i\neq j \text{; } \quad |\mathbf{v}_{1}|=\ldots=|\mathbf{v}_{m}|=1$$

Sea $\mathbf{x},\mathbf{y}\in \mathbb{R}^{n}$, $\alpha \in \mathbb{R}$

• $|\mathbf{x}|=0 \Leftrightarrow \mathbf{x}=0$
• $|\alpha \mathbf{x}|=|\alpha||\mathbf{x}|$
• Desigualdad triangular: $|\mathbf{x}+\mathbf{y}|\leq |\mathbf{x}|+|\mathbf{y}|$, $\quad |\mathbf{x}-\mathbf{y}|\leq |\mathbf{x}|+|\mathbf{y}|$
• Desigualdad de Cauchy-Schwartz: $|\mathbf{x}\cdot \mathbf{y}| \leq |\mathbf{x}| |\mathbf{y}|$
• Teorema de Pitágoras: $\mathbf{x}\perp \mathbf{y} \Leftrightarrow |\mathbf{x}+\mathbf{y}|^{2}=|\mathbf{x}|^{2}+|\mathbf{y}|^{2}$

Dado un subespacio vectorial $S$ de $\mathbb{R}^{n}$, se denomina complemento ortogonal de $S$ al conjunto

$$S^{\perp}=\{ \mathbf{v} \in \mathbb{R}^{n}: \, \mathbf{v} \perp \mathbf{u}, \forall \,\mathbf{u}\in S \}$$

Esto es, $S^{\perp}$ está formado por todos los vectores que son ortogonales a todos los vectores de $S$.

• ${ 0 } ^{\perp} = \mathbb{R}^{n}$
• ${ \mathbb{R}^{n} } ^{\perp} = { 0 }$
• $S^{\perp}$ es un subespacio de $\mathbb{R}^{n}$.
• $(S^{\perp})^{\perp}=S$
• $S\cap (S^{\perp})={ 0 }$ y $S\cup (S^{\perp})=\mathbb{R}^{n}$. Por tanto, todo vector se puede expresar de forma única como suma de un vector de $S$ y un vector de $S^{\perp}$.
• Si $S=\text{Gen}\{\mathbf{v}_{1}, \ldots,\mathbf{v}_{p} \}$, entonces: $$\mathbf{v} \in S^{\perp}\Leftrightarrow \mathbf{v} \perp \mathbf{v}_{1}, \ldots ,\mathbf{v} \perp \mathbf{v}_{p}$$

Sea $\mathbf{A}$ una matriz real de orden $m \times n$. Se verifica:

$$[\text{Col}(\mathbf{A})]^{\perp}=\text{Nul}(\mathbf{A}^{T}) \qquad [\text{Nul}(\mathbf{A})]^{\perp}=\text{Col}(\mathbf{A}^{T})$$

Otras relaciones de interés son:

$$\text{Nul}(\mathbf{A}^{T}\mathbf{A})=\text{Nul}(\mathbf{A}) \qquad \text{Col}(\mathbf{A}^{T}\mathbf{A})=\text{Col}(\mathbf{A}^{T})$$

Con respecto a las dimensiones de los complementos ortogonales tenemos:

$$\dim\left( [\text{Col}(\mathbf{A})]^{\perp} \right) =m-\dim \left( \text{Col}(\mathbf{A}) \right)$$

Puesto que, cualquier subespacio vectorial se puede expresar como el espacio columna de una matriz tenemos que para cualquier subespacio vectorial $S$ de $\mathbb{R}^{m}$, se verifica

$$\dim (S^{\perp})=m-\dim (S)$$

Se denomina matriz ortogonal a toda matriz $\mathbf{Q}$ real cuadrada no-singular cuya inversa coincide con su traspuesta: $\mathbf{Q}^{-1}=\mathbf{Q}^{T}$. Esto es, $\mathbf{Q}\mathbf{Q}^{T}=\mathbf{I}$.

Se verifica:

1. Si $\mathbf{Q}$ es ortogonal, entonces $\Rightarrow \det (\mathbf{Q})=\pm 1$.
2. Si $\mathbf{Q}$ es ortogonal, entonces $\Leftrightarrow \mathbf{Q}^{T}$ es ortogonal.
3. Si $\mathbf{Q}_{1}$ y $\mathbf{Q}_{2}$ son ortogonales, entonces $\mathbf{Q}_{1}\mathbf{Q}_{2}$ es ortogonal.

Si $\mathbf{Q}$ una matriz real cuadrada con $\mathbf{Q} \in \mathbb{R}^{n \times n}$. Son equivalentes:

1. $\mathbf{Q}$ es una matriz ortogonal.
2. Las $n$ columnas de $\mathbf{Q}$ son ortonormales (y, por tanto, forman una base ortonormal de $\mathbb{R}^{n}$).
3. Las $n$ filas de $\mathbf{Q}$ son ortonormales (y, por tanto, forman una base ortonormal de $\mathbb{R}^{n}$).

Sea $S$ un subespacio vectorial de $\mathbb{R}^{n}$. Dado cualquier vector $\mathbf{y} \in \mathbb{R}^{n}$ existe un único vector $\widehat{\mathbf{y}} \in S$ (llamado proyección ortogonal de $\mathbf{y}$ sobre $S$) tal que

$$\mathbf{y}-\widehat{\mathbf{y}} \in S^{\perp}$$

De hecho, si $\{\mathbf{u}_{1}, \mathbf{u}_{2}, \ldots, \mathbf{u}_{r}\}$ es una base ortogonal de $S$, entonces la proyección ortogonal de $\mathbf{y}$ sobre $S$ es

$$\widehat{\mathbf{y}} \doteq \text{Proy}_{S}(\mathbf{y})=\frac{\mathbf{y}\cdot \mathbf{u}_{1}}{|\mathbf{u}_{1}|^{2}}\mathbf{u}_{1}+\ldots+\frac{\mathbf{y}\cdot \mathbf{u}_{r}}{|\mathbf{u}_{r}|^{2}}\mathbf{u}_{r}$$

Sea $S$ un subespacio vectorial de $\mathbb{R}^{n}$ y consideremos un vector $\mathbf{y} \in \mathbb{R}^{n}$ e $\widehat{\mathbf{y}}$ la proyección ortogonal de $\mathbf{y}$ sobre $S$. Entonces, se verifica que $\widehat{\mathbf{y}}=\text{Proy}_{S}(\mathbf{y})$ es la mejor aproximación de $\mathbf{y}$ desde $S$. Esto es,

$$|\mathbf{y}-\widehat{\mathbf{y}}| \leq |\mathbf{y}-\mathbf{w}| \text{, } \quad \forall \, \mathbf{w} \in S$$

Una forma cuadrática en $\mathbb{R}^{n}$ es una función $Q$

$$Q:\mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$$

de la forma:

$$Q(\mathbf{x})=\mathbf{x}^{T}\mathbf{S}\mathbf{x}, \quad \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n}$$

donde $\mathbf{S}$ es una matriz simétrica con $\mathbf{S} \in \mathbb{R}^{n \times n}$ que se denomina matriz de la forma cuadrática. El rango de una forma cuadrática en $\mathbb{R}^{n}$ se define como el rango de la matriz simétrica asociada.

Una forma cuadrática $Q$ es:

• Definida positiva si $Q(\mathbf{x})>0 \quad \forall \, \mathbf{x}\neq \mathbf{0}$
• Definida negativa si $Q(\mathbf{x})<0 \quad \forall \, \mathbf{x}\neq \mathbf{0}$
• Semidefinida positiva si $Q(\mathbf{x})\geq 0 \quad \forall \, \mathbf{x}$
• Semidefinida negativa si $Q(\mathbf{x})\leq 0 \quad \forall \, \mathbf{x}$
• Indefinida si $Q(\mathbf{x})$ toma valores tanto positivos como negativos.

Además:

Una matriz simétrica $\mathbf{S}$ es definida (semidefinida) positiva (negativa) $\Leftrightarrow$ La forma cuadrática $Q(\mathbf{x})=\mathbf{x}^{T}\mathbf{S}\mathbf{x}$ es definida (semidefinida) positiva (negativa).

Dada una matriz cuadrada $\mathbf{A}$ de orden $n$ se dice que $\lambda$ es un valor propio o raíz característica de $\mathbf{A}$ si existe un vector $\mathbf{v} \in \mathbb{R}^{n} \backslash \{0\}$ tal que

$$\mathbf{A}\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}$$

El vector $\mathbf{v}$ se denomina vector propio asociado a $\lambda$. Los valores propios de una matriz cuadrada $\mathbf{A}$ coinciden con las raíces del polinomio característico $|\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I}|=0$.

• Los vectores propios de matrices simétricas siempres son ortogonales.
• Las matrices simétricas se pueden diagonalizar mediante una transformación ortogonal.
• El rango de una matriz simétrica es igual al número de raices características distintas de cero.

Sea $\mathbf{S}$ una matriz simétrica de orden $n$. Una forma cuadrática $\mathbf{x}^{T}\mathbf{S}\mathbf{x}$ es:

• Definida positiva $\Leftrightarrow$ Todos los valores propios de $\mathbf{S}$ son positivos.
• Definida negativa $\Leftrightarrow$ Todos los valores propios de $\mathbf{S}$ son negativos.
• Indefinida $\Leftrightarrow$ $\mathbf{S}$ tiene valores propios tanto positivos como negativos.

Dada una matrix $\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{m \times n}$, los productos $\mathbf{A}^{T}\mathbf{A}$ y $\mathbf{A}\mathbf{A}^{T}$ conducen a matrices simétricas.

Sea $\mathbf{A}$ una matriz $m \times n$, los valores singulares de $\mathbf{A}$ son las raíces cuadradas positivas de los valores propios de $\mathbf{A}^{T}\mathbf{A}$.

• $\mathbf{A}^{T}\mathbf{A}$ es una matriz simétrica y puede diagonalizarse ortogonalmente.
• Todos los valores propios de $\mathbf{A}^{T}\mathbf{A}$ son no negativos: Sean $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}$ los valores propios de $\mathbf{A}^{T}\mathbf{A}$ y $\{\mathbf{v}_{1}, \ldots, \mathbf{v}_{n}\}$ una base ortonormal para $\mathbb{R}^{n}$ que consiste en los vectores propios (normalizados) de $\mathbf{A}^{T}\mathbf{A}$. Entonces, para $1 \leq i \leq n$: $$|\mathbf{A}\mathbf{v}_{i}|^{2}=(\mathbf{A}\mathbf{v}_{i})^{T}(\mathbf{A}\mathbf{v}_{i}) =\mathbf{v}_{i}^{T}\mathbf{A}^{T}\mathbf{A}\mathbf{v}_{i}\underbrace{=}_{\substack{\mathbf{v}_{i} \text{ es un vector} \\ \text{propio de } \mathbf{A}^{T}\mathbf{A}}}\mathbf{v}_{i}^{T}\lambda_{i}\mathbf{v}_{i}\underbrace{=}_{\mathbf{v}_{i} \text{ unitario}}\lambda_{i}$$ Así que, todos los valores propios son no negativos.
• Los valores singulares de $\mathbf{A}$ son las longitudes de los vectores $\mathbf{A}\mathbf{v}_{i}$: Suponiendo que los valores propios están ordenados:
  $\lambda_{1}\geq \ldots \geq \lambda_{n} \geq 0$, los valores singulares de $\mathbf{A}$ son las raíces cuadradas de los valores propios de $\mathbf{A}^{T}\mathbf{A}$ denotados por $\sigma_{1}, \ldots, \sigma_{n}$: $$\sigma_{i}=\sqrt{\lambda_{i}} \quad 1 \geq i \geq n$$

Sea $\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{m \times m}$ una matriz simétrica y $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^{m}$. Para la forma cuadrática $\mathbf{x}^{T}\mathbf{A}\mathbf{x}$
se tiene que

$$\mathbf{x}^{T}\mathbf{A}\mathbf{x}=\text{traza}\left\{ \mathbf{x}^{T}\mathbf{A}\mathbf{x}\right\}=\text{traza}\left\{\mathbf{A}\mathbf{x}\mathbf{x}^{T}\right\}$$

La esperanza de la forma cuadrática es:

$$E [ \mathbf{x}^{T}\mathbf{A}\mathbf{x} ] = \text{traza}\left\{\mathbf{A} V [ \mathbf{x} ]\right\}+ E [ \mathbf{x} ]^{T} \mathbf{A}E [ \mathbf{x} ]$$

Si $\mathbf{x}$ es tal que $E [\mathbf{x}]=\mathbf{0}$, entonces

$$E [ \mathbf{x}^{T}\mathbf{A}\mathbf{x} ] = \text{traza}\left\{\mathbf{A} V [ \mathbf{x} ]\right\}$$

Una matriz cuadrada $\mathbf{A}\in \mathbb{R}^{n \times n}$ se dice idempotente si $\mathbf{A}\cdot \mathbf{A} =\mathbf{A}$.

• Si $\mathbf{A}$ es idempotente y no singular, entonces $\mathbf{A}=\mathbf{I}$. Por tanto, una matriz idempotente que no es la identidad será singular, esto es, rango$(\mathbf{A}=k<n)$.
• Las raíces características de una matriz idempotente son cero o uno.
• Una matriz simétrica e idempotente es siempre semidefinida positiva.
• Si $\mathbf{A}$ una matriz simétrica e idempotente de $\text{rango}(\mathbf{A})=k$, entonces $\text{traza}(\mathbf{A})=k$.
• Si $\mathbf{A}$ y $\mathbf{B}$ son idempotentes, entonces $\mathbf{A}\mathbf{B}$ es idempotente si $\mathbf{A}\mathbf{B}=\mathbf{B}\mathbf{A}$.
• Si $\mathbf{A}$ es idempotente y $\mathbf{P}$ ortogonal, entonces $\mathbf{P}^{T}\mathbf{A}\mathbf{P}$ es idempotente.
• Si $\mathbf{A}$ es idempotente, entonces $\mathbf{I}-\mathbf{A}$ es idempotente.

Se dice matriz de proyección a una matriz $\mathbf{P}$ idempotente y simétrica.