Como se sabe, dada una matriz $A \in \mathbb M_{m\times n}$ de $m$ filas y $n$ columnas puede escribirse como

$$A = USV^{T}$$

donde $U \in \mathbb M_{m}$ y $V \in \mathbb M_{n}$ son matrices ortogonales (i.e. $U^{T}U=I_m$, $V^{T}V=I_n$) y $S \in \mathbb M_{m\times n}$ es una matriz diagonal. Una demostración sencilla de esto puede encontrarse en este artículo.

Si reescribimos la ecuación anterior como

$$AV = US$$

podemos interpretarla como que existe una base ortonormal de $\mathbb R^n$ (las columnas de $V$ ) que se transforma por $A$ en una base ortogonal de $\mathbb R^m$ (las columnas de $U$, cada una de ellas multiplicada por el elemento correspondiente de la diagonal de $S$ ).

De esta forma, la esfera unidad del primer espacio se convierte en un elipsoide en el segundo cuyos ejes son, precisamente, el citado sistema ortogonal en $\mathbb R^m$.

Vamos a ver esto en el caso en que $m,n=2$. Recordamos que, en el plano, las matrices ortogonales representan isometrías (una rotación alrededor del origen o una reflexión respecto a una recta que pasa por el origen).

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Dada la matriz

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$$

su descomposición en valores singulares $A = USV^{T}$ es

$$U = \begin{pmatrix} -0.2898 & 0.9571 \\ 0.9571 & 0.2898 \end{pmatrix}$$

$$S = \begin{pmatrix} 2.3028 & 0 \\ 0 & 1.3028 \end{pmatrix}$$

$$V = \begin{pmatrix} 0.2898 & 0.9571 \\ -0.9571 & 0.2898 \end{pmatrix}$$

En la siguiente figura se muestra cómo varía la circunferencia unidad según se van multiplicando sus puntos por $V^T$, $S$ y $U$. Los ejes que se dibujan son, respectivamente, las columnas de $V$, sus transformados por $V^T$ (es decir, la base canónica), la dilatación de esta como resultado de multiplicar por $S$ y, finalmente, la rotación correspondiente a $U$.

De esta forma, los ejes de la elipse en que se transforma la circunferencia unidad son los correspondientes a los vectores

$$E1 = \begin{pmatrix} -0.6673 \\ 2.2040 \end{pmatrix}$$

de longitud $2.3028$ y

$$E2 = \begin{pmatrix} 1.2469 \\ 0.3775 \end{pmatrix}$$

de longitud $1.3028$.

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