La representación más directa del plano proyectivo real P es como el conjunto de las rectas del espacio afín que pasan por el origen. Como cada una de esas rectas corta a la esfera unidad en exactamente dos puntos antipodales, se puede obtener P identificando en la esfera cada dos puntos antipodales. Si se toma sólo una semiesfera, basta identificar los puntos antipodales de su borde. Pero una semiesfera es lo mismo que un disco, así que el plano proyectivo se obtiene a partir de un disco identificando cada dos puntos antipodales de su borde.
Una ilustración artística de esta descripción del plano proyectivo real es el siguiente lagarto moviéndose en el plano proyectivo:
La banda de Möbius se obtiene pegando en sentidos opuestos los extremos de una banda plana. Si se considera tal banda en un disco, al identificar cada dos puntos antipodales del borde, se obtiene: de la banda, una banda de Möbius, y del disco, el plano proyectivo. En resumen, se tiene una banda de Möbius dentro del plano proyectivo.
Ahora se observa que el complementario de la banda consiste en dos discos de los que se han identificado partes de sus bordes respectivos. Esta identificación da lugar a un solo disco, y concluimos que el plano proyectivo es la unión de una banda de Möbius y un disco.
En consecuencia, el plano proyectivo real P es una superficie topológica compacta y cerrada (sin borde); además, se trata de una superficie no orientable. Como consecuencia, no se puede sumergir P en el espacio afín ordinario sin que aparezcan autointersecciones y puntos singulares. Es muy importante investigar estas inmersiones, denominadas modelos del plano proyectivo real.
Las superficies de Steiner. Jacob Steiner encontró en 1853 una manera de hacer inmersiones del tipo que se acaba de describir, y los modelos que obtuvo se denominan hoy superficies de Steiner. Las más conocidas son la Crosscap y la Superficie Romana.
Crosscap. Esta superficie tiene una línea de autointersección, que termina en dos puntos singulares. Aquí se ven varias imágenes de esta superficie:
Crosscap
Superficie romana. Es una superficie con tres líneas de autointersección, cada una de las cuales termina en dos puntos singulares. Las tres líneas de autointersección se intersecan a su vez en un punto singular triple. Estas son algunas vistas suyas:
Superficie romana
Singularidades de Whitney. Entre los puntos singulares de las superficies de Steiner, aparecen los denominados de Whitney, en honor de Hassler Whitney (1907-1989). Se llama paraguas de Whitney la superficie algebraica que aparece en la figura desde dos puntos de vista.
Paraguas de Whitney
El eje coordenado x=y=0 aparece contenido en la superficie, una mitad como línea de autointersección, la otra como mango de paraguas. El origen de coordenadas es el punto singular de Whitney, que está señalado con una estrella roja. La misma estrella lo señala en las imágenes anteriores de las superficies de Steiner.
La superficie de Boy. Medio siglo después de Steiner se descubrió una tercera inmersión del plano proyectivo real. Ocurrió que el estudio de los modelos de Steiner hizo pensar a David Hilbert (1862-1943) que al sumergir el plano proyectivo en el espacio afín siempre debían aparecer puntos singulares además de líneas de autointersección. Propuso entonces a un estudiante suyo, Werner Boy (1879-1914), que demostrara eso. Para su sorpresa, Boy mostró lo contrario, exhibiendo en 1901 un modelo del plano proyectivo real que sólo tenía líneas de autointersección. Esta superficie se ha llamado después Superficie de Boy. La superficie de Boy tiene una sola curva de autointersección que se corta a sí misma en un punto triple. He aquí varias ilustraciones de esta superficie.<
Superficie de Boy
En las imágenes siguientes, generadas con MAPLE, se puede observar cómo ensanchando la parametrización de una banda de Möbius se obtiene la Superficie de Boy:
El planeta de Boy según Jean-Pierre Petit. Anselme Lanturlu visita un planeta cuya superficie es la de Boy, que tiene el Polo Norte y el Polo Sur en el mismo punto, cada uno en una cara de la superficie. Un camino ancho que recorriera el planeta desde el Polo Norte al Polo Sur a lo largo de un meridiano sería una banda de Möbius y lo mismo pasaría en el Ecuador. Sin embargo ningún otro camino siguiendo un paralelo alrededor del polo sería una banda de Möbius.
El planeta de Boy
