En el contexto de los trabajos de perspectiva del Renacimiento y ante la aparición de nuevos problemas en la ciencia aplicada, surgen en el siglo XVII varias figuras clave en la recuperación de los conocimientos geométricos griegos y en los nuevos enfoques que dieron lugar al nacimiento de la Geometría Proyectiva. Además de Kepler, que se orientó más hacia la Óptica y la Astronomía, tres son los nombres que se destacan: Girard Desargues (1591-1661), Blaise Pascal (1623-1662) y Philippe de la Hire (1640-1718). Por la importancia de sus resultados nos centraremos en los dos primeros.
Desargues investiga:
- Las secciones cónicas y los puntos del infinito.
- La invarianza de la razón doble y las cuaternas armónicas.
- La teoría de polares, y, por supuesto, obtiene su famoso Teorema de Desargues.
Teorema de Desargues en el plano
Teorema de Desargues en el espacio
Teorema de Desargues. Si proyectamos un triángulo de vértices A, B, C desde un punto O obtenemos otro triángulo de vértices A’, B’, C’, y decimos que los dos triángulos son perspectivos. Entonces, dos triángulos son perspectivos si y sólo si los lados correspondientes se cortan en puntos alineados.
Razón doble. La pregunta de Alberti: ¿qué se conserva por proyección, si no lo hacen ni la longitud ni los ángulos?, da lugar a estudiar cuándo varios puntos dados en una recta se pueden transformar (por proyecciones sucesivas) en otros tantos dados en otra. Si se tienen tres puntos, esto siempre es posible. El invariante numérico que interviene para cuatro puntos A, B, C, D es su razón doble (CA/CB):(DA/DB), pues cuatro puntos se pueden transformar en otros cuatro si la razón doble de los primeros es la misma que la de los segundos.
El trabajo de Pascal se concentra en su Essay pour las coniques, donde aparece el teorema que hoy lleva su nombre, uno de los más bellos y sugestivos de la matemática. El teorema de Pappus puede considerarse como el caso no regular del teorema de Pascal.
Hexagrama místico de Pascal
Teorema de Pascal. Si se inscribe un hexágono en una cónica, los puntos de intersección de los pares de lados opuestos están alineados.
Teorema de Pappus
Teorema de Pappus. Sean L y L’ dos rectas distintas del plano proyectivo. Si A, B, C están en L y A’, B’, C’ en L’, y ninguno de ellos es el punto de intersección de las rectas, entonces los tres puntos de intersección: (1) P de BC’ con CB’, (2) Q de CA’ con AC’, y (3) R de AB’ con BA’, están alineados.
Desgraciadamente, el siglo XVII no era adecuado para la geometría pura. Los problemas científicos del momento requerían métodos algebraicos más efectivos para los cálculos que la tecnología necesitaba. Por esto, la Geometría Proyectiva fue abandonada en favor de la Geometría Analítica, el Álgebra y el Cálculo Infinitesimal. Los resultados de Desargues, Pascal y de la Hire se olvidaron hasta principios del siglo XIX, cuando se produjo el resurgimiento de la geometría pura.
