Descripción axiomática del plano proyectivo. Se puede definir el plano proyectivo mediante cuatro axiomas de incidencia entre puntos y rectas:
- Dos puntos determinan una única recta.
- En cada recta hay al menos tres puntos.
- Hay tres puntos no alineados.
- Dos rectas cualesquiera se cortan en un punto.
Si estos axiomas se cumplen para un conjunto de puntos en el que se señalan ciertos subconjuntos como las rectas y se define la relación de incidencia punto pertenece a recta, entonces tenemos un plano proyectivo.
Surge ahora una pregunta natural: ¿Qué relación hay entre esta definición axiomática de plano proyectivo y la construcción del plano proyectivo como conjunto de rectas de un espacio vectorial de dimensión 3? Para facilitar las explicaciones, convenimos en denominar plano proyectivo axiomático a cualquier conjunto de puntos y rectas que cumpla la axiomática anterior, y plano proyectivo algebraico al conjunto de rectas de un espacio vectorial de dimensión 3.
En primer lugar se observa que un plano proyectivo algebraico (definido sobre un cuerpo K finito o infinito, con 2 o más elementos), cumple los axiomas anteriores, y es por tanto un plano proyectivo axiomático. Pero, ¿y recíprocamente? La respuesta a esta cuestión es que NO: se pueden encontrar planos proyectivos axiomáticos que no son algebraicos.
La existencia de esos ejemplos no algebraicos está relacionada con uno de los resultados clásicos de la Geometría Proyectiva: el célebre Teorema de Desargues, que se verifica en todos los planos proyectivos algebraicos. Ocurre que no todos los planos proyectivos axiomáticos cumplen ese teorema, y naturalmente, los que no lo cumplen no pueden ser algebraicos.
J. Wedderburn
O. Veblen
El primer ejemplo de este fenómeno se debe a Oswald Veblen (1880-1960) y Joseph Wedderburn (1882-1948).
Para distinguirlos, los planos proyectivos que sí cumplen el teorema de Desargues se denominan desarguesianos. Estos planos proyectivos desarguesianos sí se pueden definir algebraicamente, aunque con un pequeño matiz. En realidad, se demuestra que un plano proyectivo desarguesiano está definido de manera algebraica (como rectas de un espacio vectorial), pero no necesariamente sobre un cuerpo, sino sobre un anillo de división. Digamos, para completar esta discusión, que un plano desarguesiano está definido sobre un cuerpo precisamente cuando se verifica en él otro resultado clásico: el Teorema de Pappus.
Planos proyectivos finitos. Los axiomas que definen un plano proyectivo pueden aplicarse a conjuntos finitos de puntos y rectas, situación que se aleja de la intuición geométrica más inmediata. Se tienen en este caso los planos proyectivos finitos.
K. von Staudt
G. Fano
La Geometría Proyectiva finita fue considerada ya por Karl von Staudt (1798-1867), y después fue formalizada con rigor por otros matemáticos posteriores. Mención especial entre éstos merece Gino Fano (1871-1952).
Es claro que si un plano proyectivo finito está definido sobre un cuerpo, éste debe ser finito. Se demuestra entonces que si el cuerpo tiene p elementos, el plano proyectivo tiene 1+p+p2 puntos, y el mismo número 1+p+p2 de rectas. De este modo, el plano proyectivo finito más pequeño está definido sobre el cuerpo de dos elementos, y resulta tener 7 puntos y 7 rectas. Este plano de siete puntos se representa mediante la configuración siguiente, que muestra las incidencias de puntos y rectas.
Esta configuración se denomina de Fano, que en 1892 fue quien primero la consideró, además de otras análogas en dimensión superior. Otro ejemplo importante de plano proyectivo finito es el plano proyectivo no desarguesiano de Veblen y Wedderburn: se trata de un plano proyectivo finito con 91 puntos. Este plano no es algebraico, pero existe otro plano proyectivo con 91 elementos que sí lo es: el definido sobre un cuerpo finito con p=9 elementos (pues en ese caso 1+p+p2=91).
