Por Mario Castro Ponce, Manuel de León y Antonio Gómez Corral.- Esta entrada fue publicada en el blog Matemáticas y sus fronteras , el día 7 de mayo de 2020.

La sección de “El Tiempo” ocupa una parte destacada en los telediarios de todas las cadenas. Esta sección, aparte de contarnos el tiempo que ha hecho hoy nos ha ayudado también a comprender conceptos como “probabilidad de lluvia” o la imposibilidad de saber un lunes si el domingo podremos ir a la playa. En el caso de las epidemias, otro fenómeno muy difícil de explicar, la incertidumbre de cuándo llegará (o llegó) el pico y cuánta gente va a ingresar en el hospital la semana que viene invita a una variedad de modelos matemáticos llamados cadenas de Markov. En nuestro objetivo de acercar a la sociedad los instrumentos matemáticos que nos ayudan a enfrentar la actual pandemia, nos hacemos hoy eco de la figura de un matemático excepcional, Andréi Andréyevich Márkov, el inventor de las cadenas que llevan su nombre. En esta primera entrada hablaremos de sus logros generales, mientras que en otras centraremos la atención sobre las aplicaciones a la biología y, en particular, a la epidemiología.

Andrei Markov nació en Riazán, Rusia, el 14 de junio de 1856. Su padre, hijo de un diácono rural, estudió en un seminario, consiguiendo posteriormente un empleo en el Departamento Forestal en San Petersburgo.  Andrei Markov era el mayor de los dos hijos varones en una familia numerosa; su hermano menor, Vladimir, muerto prematuramente de tuberculosis, había conseguido en un corto espacio de vida una gran reputación como buen matemático.

Andrei Markov fue un niño con una salud delicada, llevando muletas hasta los diez años. En la secundaria destacó en matemáticas, llamando ya entonces la atención de sus profesores. Era obvio que iba a estudiar esta materia y así lo hizo en la prestigiosa facultad de Física y Matemáticas de la Universidad de San Petersburgo, participando en los seminarios de un matemático tan brillante y con capacidad de liderazgo como era Chebyshev, es decir, Pafnuti Lvóvich Chebyshov (Okátovo 1821 – San Petersburgo 1894).

Andrei Markov se graduó en 1878 y comenzó su trabajo de máster sobre teoría de números (aproximación racional), una tesis que fue muy alabada y considerada uno de los mejores resultados en el tema en esa época. Esto le permitió seguir su carrera como profesor de la universidad y conseguir el doctorado en 1884. En 1886 se convirtió en adjunto de la Academia de Ciencias de San Petersburgo a propuesta de Chebyshev, aunque siguió manteniendo su vinculación con la universidad.

Fue en 1900 cuando Andrei Markov comenzó a investigar en la teoría de probabilidad, tema en el que obtuvo resultados muy brillantes, destacando el descubrimiento de las cadenas que llevan su nombre. Chebyshev, Kolmogorov y Markov son los grandes nombres que usaron elementos de la teoría de la medida para convertir la teoría de probabilidad en una de las áreas más rigurosas y respetadas de las matemáticas.

Andrei Markov no trabajó pensando en las posibles aplicaciones prácticas de las cadenas de Markov y, de hecho, la única que hizo fue a la literatura, contando vocales y consonantes, quizás por su gran amor a la poesía (de esto hablaremos en una próxima entrada). Sin embargo, como mostraremos a continuación, las aplicaciones de las cadenas de Markov son de gran utilidad práctica.

Cadenas de Markov

De manera intuitiva, una cadena de Markov en tiempo discreto (por sencillez) es un proceso estocástico que evoluciona en tiempo discreto o etapas y tiene la propiedad Markoviana que dice que “el futuro depende de lo que pasa en el presente, pero no del pasado estricto”.  Tendremos unos estados E₁, E₂, E₃, …, de manera que se pasa de uno a otro por una matriz de transición en una etapa. La cardinalidad del conjunto de estados es numerable, es decir, es un conjunto finito o con la misma cardinalidad que los números naturales. La matriz de transición en una etapa tiene como elementos a las probabilidades de paso de un estado a otro cuando el proceso evoluciona desde una etapa n a la etapa siguiente n+1. Por lo tanto, está compuesta de números reales positivos entre 0 y 1, de manera que la suma de cada fila o columna, según la disposición de los estados inicial (en la etapa n) y final (en la etapa n+1), es 1.

Este es un ejemplo muy sencillo. En una unidad de cuidados intensivos, los pacientes se clasifican atendiendo a su estado: crítico, serio y estable. Cada día se actualizan las clasificaciones de acuerdo con la evolución histórica de los pacientes admitidos en la unidad hasta ese momento, de modo que las frecuencias relativas de cambios de estado de un paciente son:

En la disposición anterior, las entradas por filas están asociadas al estado del paciente en el día n y las columnas se refieren a su estado en el día n+1. Entonces, podríamos tomar como matriz de transición en una etapa

0.6   0.3   0.1

0.4   0.4   0.2

0.1   0.4   0.5

donde las filas suman 1. Una representación gráfica como la siguiente nos puede ayudar a entender mejor la dinámica de cambio entre estados de un paciente en dos días consecutivos:

Con un gráfico como este podemos calcular probabilidades en más de una etapa. Por ejemplo, la probabilidad de pasar del estado crítico C a estable E en dos días. Hay tres posibles caminos, dependiendo del estado C, S y E del paciente después del primer día:

C –> C –> E

C –> S –> E

C –> E –> E,

así que sólo tenemos que multiplicar las probabilidades y sumar de la forma

0.6 x 0.1 + 0.3 x 0.2 + 0.1 x 0.5 = 0.17

Es decir, un paciente ingresado en estado crítico C evolucionará al estado estable E en dos días en un 17% de las ocasiones.

Andrei Markov era una persona comprometida políticamente en una época, principios del siglo XX, de transición agitada de Rusia. Por ejemplo, cuando a Maksim Gorky se le retiró su nombramiento como académico de la Academia de Ciencias por razones políticas, protestó enérgicamente, y en 1913 se negó a secundar la celebración del tercer centenario del zarismo para celebrar, por su cuenta, el segundo aniversario de la Ley de los Grandes Números. Cuando triunfó la Revolución Rusa de 1917, Andrei Markov solicitó que le enviaran a un pequeño pueblo del interior, Zaraisk, a enseñar en la escuela local de manera gratuita y así contribuir a la mejora de la pobre sociedad rural. Aquejado de graves problemas de salud, falleció en San Petersburgo el 20 de julio de 1922, a los 66 años de edad, debido a la infección generalizada producida por una de las varias operaciones quirúrgicas de rodilla a las que fue sometido.