La ley de los grandes números

Ars Conjectandi

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Bajo el nombre de Ley de los Grandes Números son conocidos aquellos resultados del cálculo de probabilidades sobre la estabilidad a largo plazo de una variable aleatoria. La primera ley de los grandes números es debida al matemático suizo Jacob Bernoulli (1654-1705), aunque su demostración fuera publicada en 1713 por su sobrino Nicholas como parte de su libro póstumo Ars Conjectandi (El Arte de Hacer Conjeturas). Formalmente, se refiere a una sucesión de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con varianza finita, y asegura que el promedio de las n primeras observaciones (variables aleatorias) se acerca a la media teórica cuando el número n de repeticiones tiende hacia infinito.


Jacob Bernoulli

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Dos tipos de convergencias estocásticas de sucesiones de variables aleatorias la convergencia en probabilidad y la convergencia casi segura– permiten dar el aspecto formal moderno a un resultado tan famoso que, hasta los inicios del siglo XX, fue empleado como definición frecuentista de la noción de probabilidad de un suceso. Por ejemplo, supongamos que pretendemos conocer la probabilidad del suceso «obtener 3» en el lanzamiento de un dado equilibrado y que, para ello, repetimos una y otra vez, de manera independiente y bajo idénticas condiciones, el lanzamiento de un dado registrando un 1 si se observa como resultado un 3 y un 0 en caso contrario; es decir, la variable aleatoria asociada toma los valores 1 y 0 con probabilidades 1/6 y 5/6, respectivamente. La frecuencia de aparición del resultado 3 durante los primeros n lanzamientos equivale al cociente entre la suma de los 1’s asociados a los lanzamientos y el número n de lanzamientos. Cuando el número de lanzamientos es suficientemente grande, la aparición porcentual del suceso «obtener 3» será muy cercana a la probabilidad teórica 1/6 del suceso, gracias a que la media de la variable asociada a un lanzamiento (1 x 1/6 + 0 x 5/6) coincide con la probabilidad 1/6 del suceso.

Las contribuciones de Jacob Bernoulli a la geometría analítica, a la teoría de probabilidades y al cálculo de variaciones fueron de extraordinaria importancia. En 1690 se convirtió en la primera persona en desarrollar la técnica de resolución de ecuaciones diferenciales separables y, mediante la correspondencia mantenida con Gottfried Leibniz, se familiarizó con el cálculo infinitesimal y contribuyó a la teoría de curvas transcendentales e isoperimetría, junto a su hermano Johann.


 

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