Euler y la mecánica de fluidos

Introducción
Durante el siglo XVIII, la mecánica en particular, y la física en
general, lograron alcanzar un desarrollo sin precedentes como disciplina
científica a nivel no solo académico, sino también económico y social.
Las tres figuras más representativas de la física de esta centuria
fueron los máximos responsables de este giro copernicano en la percepción
social en Europa de la ciencia, que intentaba explicar cómo se comportaba
la materia del cosmos, y coinciden asimismo con tres de los matemáticos
más importantes de la Historia de las Matemáticas:
Sir Isaac Newton, el hombre que describió las ecuaciones del movimiento
que cumple toda la materia que podemos ver en el universo; Joseph
Louis Lagrange, formulador de la Mecánica Lagrangiana y padre del
Cálculo de Variaciones, y Leonard Euler, de cuyo trabajo en Mecánica
de fluidos nos ocuparemos en este escrito.

Aportaciones de Euler a la Mecánica

Leonard Euler ingresó en la Universidad de Basilea en 1720, y habiendo
empezado a estudiar Filosofía, y tras recibir algunas clases de matemáticas
de Johann Bernoulli, en 1727 participó en un concurso promovido por
la Academia de Ciencias Francesa, a raíz del cual publicó su primer
trabajo científico: un ensayo sobre la distribución óptima de los
mástiles en la cubierta de un barco.

Desde entonces, el joven genio suizo continuó aportando descubrimientos
a las diversas publicaciones científicas que por aquel entonces comenzaban
a funcionar en los círculos académicos de la Europa ilustrada.

Por ejemplo, ayudó
a desarrollar la ecuación de la curva elástica, que posteriormente
llegaría a convertirse en uno de los pilares de la ingeniería. La
curva elástica es la resultante de deformar por flexión el eje longitudinal
de una recta. La ecuación que describe tal deformación es una ecuación
diferencial para el campo de desplazamientos que sufre el eje de la
recta desde su forma inicial hasta la posición curvada o $\mathit{flectada}$
final:

$\frac{d^{2}v(x)}{dx^{2}}=\frac{M_{z}(x)}{EI_{z}}$

A continuación, veremos los distintos elementos de la ecuación. Dada
una variable $x$ , que representa la abscisa del cuerpo recto
objeto de la deformación, consideramos las funciones dependientes
de ella: $v(x)$ , que representa la función vectorial de la deformación
del cuerpo; $M_{z}(x)$ , que es el momento flector de la abscisa $x$ ;
$I_{z}$ es el momento de la sección transversal, y $E$ es el momento
de elasticidad del cuerpo.

La ecuación anterior constituye sólo una aproximación, en la que se
ha supuesto que las deformaciones son muy pequeñas con respecto a
las dimensiones de la viga y, por tanto, se ha aproximado el giro
de una sección de la viga con la derivada primera de la flecha. Para
deformaciones mayores se obtiene la ecuación más exacta variando los
factores hacia la extracción de un factor común dependiente de $M_{z}(x)$ .
Hay algunos casos particulares, como la restricción a casos bidimensionales,
que reducen la complejidad de resolución de forma significativa sin
perder las propiedades de linealidad y generalidad.

Otra aportación importante de Euler a la mecánica fue el establecimiento
de la notación de forma precisa, algo necesario para formalizar los
resultados y fijar las bases de la disciplina adecuadamente y sin
vaguedades. Este proceso hizo que quedasen definitivamente formalizados
los conceptos de partícula y masa puntual, y la notación vectorial
para representar la velocidad y la aceleración en sistemas dinámicos,
lo que sentaría las bases que posibilitaron los trabajos posteriores
de Lagrange que se han mencionado en la introducción.

En este sentido, Euler se limitó a realizar un proceso que repitió
en muchos otros campos de la matemática aplicada, desde la ingeniería
a los métodos de interpolación: la aplicación de sus herramientas
analíticas a otros campos científicos. De esta forma consiguió una
nueva capacidad para analizar los movimientos astronómicos e interpretar
los datos de las observaciones realizadas. En sus trabajos de astronomía,
Euler determinó con gran exactitud las órbitas de los cometas y otros
cuerpos celestes, asi como el paralaje del Sol, es decir, la desviación
aparente de la trayectoria solar causada por el movimiento terrestre,
y los movimientos lunares. Además de estas aportaciones, la contrubución
en este campo que más reconocimiento social otorgó a Euler y al trabajo
científico fue la elaboración de tablas astronómicas para la navegación,
con una precisión desconocida hasta entonces, y que no pudo verse
superada hasta la llegada de la nueva generación de telescopios a
finales del siglo XIX.

Destacables fueron también las aportaciones de Euler en el campo de
la óptica. En su obra $\mathit{Optiks}$ , Euler se opuso a las teorías
Newtonianas sobre la luz (la teoría prevaleciente en aquel tiempo),
y apoyó las tesis de Huygens sobre una teoría que estableciese la
naturaleza de onda que poseía ésta. Éstos trabajos fueron desarrollados
durante la década de 1740 y desembocaron en el apoyo mayoritario de
la comunidad científica a las tesis del físico neerlandés, que se
mantuvo hasta el establecimiento de la teoría cuántica de la luz,
en los albores del siglo XX.

Por último, mencionaremos los trabajos eulerianos sobre mecánica de
sólidos. Cuando las ecuaciones del movimiento de un sólido rígido
se expresan en un sistema de referencia no inercial solidario con
los ejes principales de inercia del sólido rígido toman una fórmula
particularmente simple conocida como ecuaciones de Euler. En general,
en este sistema de referencia es mucho más sencillo integrar las ecuaciones
de movimientos que en un sistema de referencia inercial y no solidario
con el cuerpo. Las ecuaciones de Euler para el movimiento de un sólido
rígido tienen la forma:

$I_{1}\omega_{1}-(I_{3}-I_{2})\omega_{3}\omega_{2}=M_{1}$

$I_{2}\omega_{2}-(I_{1}-I_{3})\omega_{1}\omega_{3}=M_{2}$

$I_{3}\omega_{3}-(I_{2}-I_{1})\omega_{2}\omega_{1}=M_{3}$

donde $M_{k}$ , son las componentes vectoriales del momento o torque
total aplicado, $I_{k}$ , son los momentos principales de inercia
y $\omega_{k}$ son las componentes del vector velocidad angular $\omega$
según los ejes principales de inercia.

Mecánica de Fluidos de Euler

En dinámica de fluidos, las ecuaciones de Euler son las que describen
el movimiento de un fluido compresible no viscoso. Su expresión corresponde
a las ecuaciones de Navier-Stokes cuando las componentes disipativas
son despreciables frente a las convectivas. Esto nos lleva a las siguientes
condiciones que se pueden deducir a través del análisis de magnitudes
de las ecuaciones de Navier-Stokes:

$\frac{\rho UF}{\mu}\rightarrow\infty$

es decir, cuando $\mu=0$ (no viscosidad), siendo F y U el momento
y la componente cartesiana de la fuerza respectivamente, $\rho$ la
densidad del fluido, y $\mu$ la viscosidad dinámica. Aunque habitualmente
se expresan en la forma mostrada en este artículo, dado que de este
modo se enfatiza el hecho de que representan directamente la conservación
de masa, momento y energía, Euler las dedujo directamente de las leyes
de Newton (para el caso no-relativista). Aparte de ese caso, existe
una aplicación al caso de la mecánica relativista que veremos después.

Para el caso no relativista de la mecánica clásica, la expresión diferencial
de estas ecuaciones es la siguiente:

$\frac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla(\rho u)=0$

$\frac{\partial(\rho u)}{\partial t}+(u\nabla)(\rho u)+\nabla p=0$

$\frac{\partial E}{\partial t}+\nabla(u(E+p))=0$

donde $E=\rho e+\rho(u^{2}+v^{2}+w^{2})/2$ es la energía total por
unidad de volumen ( $e$ es la energía interna por unidad de masa para
el fluido), $p$ es la presión, $u$ es la velocidad del fluido y $\rho$
es su densidad. Nótese que las ecuaciones anteriores están expresadas
en forma de conservación o equilibrio, dado que con esta forma se
enfatiza su origen físico (y es además en gran medida la más conveniente
para la simulación computacional de la dinámica de fluidos). El componente
del momento de las ecuaciones de Euler se expresa del siguiente modo:

$\rho(\frac{\partial}{\partial t}+u\nabla)u+\nabla p=0$

aunque esta forma oculta la conexión directa existente entre las ecuaciones
de Euler y la segunda ley de Newton (en particular, no es claramente
intuitivo por qué esta última ecuación es correcta y la de Euler no
lo es). En formato vectorial las ecuaciones de Euler quedan expresadas
del siguiente modo:

$\frac{\partial U}{\partial t}+\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial G}{\partial y}+\frac{\partial H}{\partial z}=0$

siendo

$U=\left(\begin{array}{c} \rho\\ \rho u\\ \rho v\\ \rho w\\ E\end{array}\right);F=\left(\begin{array}{c} \rho u\\ p+\rho u^{2}\\ \rho uv\\ \rho uw\\ u(E+p)\end{array}\right);G=\left(\begin{array}{c} \rho v\\ \rho uv\\ p+\rho v^{2}\\ \rho vw\\ v(E+p)\end{array}\right);$

$H=\left(\begin{array}{c} \rho w\\ \rho uw\\ p+\rho v^{2}\\ p+\rho w^{2}\\ w(E+p)\end{array}\right);$

Esta forma deja más claro que F,G,H son caudales.

Las ecuaciones anteriores representan por tanto la conservación de
la masa, los tres componentes del momento y la energía. Hay por tanto
cinco ecuaciones y seis incógnitas ( $\rho,u,v,w,E,p$ ). Para
cerrar el sistema se necesita una ecuación de estado; la ecuación
de estado más comúnmente utilizada es la ley de los gases ideales
( $P\cdot e\cdot p=p(\gamma-1)e$ ).

Una característica muy importante de las Ecuaciones de Euler es que
debido a que proceden de una reducción de las Ecuaciones de Navier-Stokes
despreciando los términos provenientes de los términos disipativos
como hemos dicho al principio, estamos eliminando en las ecuaciones
los términos en derivadas parciales de mayor grado: $\nabla\tau$ en
la Ecuación de la Cantidad de movimiento así como $\nabla(K\nabla T)$
y $\tau':\nabla v$ de la Ecuación de la Energía, estas ecuaciones
no podrán cumplir con todas las condiciones de contorno naturales.
En particular no cumplen con la condición de no deslizamiento en las
superficies de contacto con sólidos o la condición de continuidad
de la temperatura, estas discontinuidades carecen de importancia para
muchas aplicaciones, pero no para otras, lo que conlleva a tratar en
esas discontinuidades con otras ecuaciones que finalmente conllevarían
a temas muy profusos dentro de esta disciplina como es la Teoría de
la Capa Límite. Por último hay que decir que en flujos supersónicos
se producen otras discontinuidades en estas ecuaciones como son las
Ondas de Choque o las Ondas de Mach.

La generalización al caso relativista de las ecuaciones de Euler parte
de la ley de conservación del tensor energía-impulso. Usando el convenio
de sumación de Einstein dicha ley de conservación viene dada por:

$\nabla_{\mu}T^{\mu\nu}=0$

donde $\nabla_{\mu}$ es la derivada covariante y $T^{\mu\nu}$ es
el tensor de energía-impulso del fluido.

Bibliografía

William Dunham, Euler: el maestro de todos los matemáticos.

J. Ordóñez, V. Navarro y J. M.Sánchez Ron, Historia de la Ciencia.

Joseph B.Franzini, y John E. Finnemore, Mecánica de fluidos con aplicaciones en ingeniería.

M. A. Amores Lázaro, La mecánica de fluidos en el siglo $XVIII$ , conferencia incluida en el XXX Seminario de historia de las matemáticas.

Artículo de Pedro G. Guillén. Publicado en el Número 0

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