Tema 1. Variedades diferenciables. Aplicaciones diferenciables. Difeomorfismos. Parametrizaciones y sistemas de coordenadas. Variedades diferenciables. Intersecciones completas. Particiones diferenciables de la unidad. Vectores tangentes. Espacios tangentes y fibrado tangente. Derivaciones. Aplicación tangente. Variedades con borde.
Tema 2. Campos tangentes y ecuaciones diferenciales. Campos tangentes. Referencias móviles y paralelizabilidad. Grupos uniparamétricos de difeomorfismos. Curvas integrales. Flujos. Álgebra de Lie de campos tangentes. Derivada de Lie y corchete de Lie. Caracterización de campos tangentes coordenados.
Tema 3. Formas diferenciales. Producto tensorial de aplicaciones multilineales. Aplicaciones multilineales alternadas. Producto exterior y álgebra exterior. Producto interior. Formas diferenciales. Diferencial de una función. Diferencial exterior: existencia y unicidad. Formas cerradas y formas exactas. Cohomología de de Rham.
Tema 4. Orientación. Orientación de espacios vectoriales. Conservación e inversión de la orientación. Orientación de variedades. Orientación mediante atlas positivos. Existencia de formas nunca nulas en variedades orientables. Orientación del borde de una variedad orientada. Orietación de hipersuperficies.
Tema 5. Integración en variedades. Formas diferenciables con soporte compacto. Integral: existencia y unicidad. Cambios de variable. Teorema de Stokes. Fórmula de Green. Integral y cohomología.
Tema 6. Variedades riemannianas. Métricas riemannianas. Métrica riemanniana standard. Isometrías. Distancia geodésica. Orientación de hipersuperficies mediante campos normales. Elemento de volumen y volumen de una variedad orientada. Caso de una hipersuperficie orientada.
Tema 7. Diferenciación covariante. Conexiones y derivada covariante. Conexiones riemannianas. Símbolos de Christoffel. Identidades de Christoffel y unicidad de la conexión riemanniana. Derivada covariante de un campo de vectores a lo largo de una curva. Transporte paralelo. Geodésicas y aplicación exponencial.
Tema 8. Hipersuperficies afines (I). Las aplicaciones de Gauss y de Weingarten. Curvatura de Gauss, curvatura media, curvaturas y direcciones principales. Ecuación de Gauss. Descripción de la conexión riemanniana mediante un campo normal unitario.
Tema 9. Hipersuperficies afines (II). Cálculo de la curvatura de Gauss. Descripción infinitesimal. Ecuaciones de Codazzi-Mainardi. Puntos umbílicos. Caracterización de hiperplanos y esferas. Teorema egregio de Gauss. Hipersuperficies de curvatura de Gauss nunca nula. Curvatura y convexidad: teorema de Hadamard.
Tema 10. Curvatura riemanniana. Tensor de curvatura. Identidades de Bianchi. Secciones planas. Curvatura seccional o riemanniana. Hipersuperficies de curvatura riemanniana constante. Invarianza por isometría de la curvatura de Gauss de una hipersuperficie. Formas duales, formas de conexión y formas de curvatura. Ecuaciones estructurales de Cartan.
Tema 11. Rigidez de hipersuperficies. Congruencia de hipersuperficies. Hipersuperficies rígidas. Caracterización de la congruencia mediante la segunda forma fundamental. Fórmulas integrales de Minkowski. Fórmula integral de Herglotz. Teorema de Cohn-Vossen.
Bibliografía
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[2] W.M. Boothby: An introduction to differentiable manifolds and riemannian geometry. Pure and applied mathematics 63, Academic Press 1975.
[3] H. Cartan: Cálculo diferencial. Ediciones Omega, Barcelona 1972.
[4] J.M. Gamboa & J.M. Ruiz: Introducción al estudio de las variedades diferenciables. Sanz y Torres, Madrid 2020.
[5] M. Spivak: Differential Geometry. Publish or Perish 1970.
