Tema 1. Variedades con borde. Cálculo diferencial en subconjuntos del espacio afín. Variedades con borde diferenciable. Particiones diferenciables de la unidad. Cálculo diferencial en variedades. Producto de variedades. Difeotopías. Orientación. Inmersiones y sumersiones.
Tema 2. Transversalidad. Construcción de variedades mediante sumersiones. Intersecciones completas. El concepto de transversalidad. Teorema de Sard-Brown. Densidad de la transversalidad. Teorema de inmersión de Whitney.
Tema 3. Aproximación. Fibrado normal. Entornos tubulares. Espacios de aplicaciones. Aproximación por aplicaciones diferenciables. Homotopía y homotopía diferenciable. Homotopía y transversalidad. Aproximación y transversalidad.
Tema 4. Aplicaciones. Clasificación de curvas. Teoream del punto fijo de Brouwer. Teorema de separación de Jordan-Brouwer. Recuento de preimágenes. Teorema de Hopf. Campos tangentes a esferas.
Tema 5. Teoría de intersección. Número de intersección. Cálculo por aproximación. Invarianza por homotopía. Teorema del borde. Grado. Número de Lefschetz. Característica de Euler.
Tema 6. Teoría del punto fijo de Lefschetz. Puntos fijos de Lefschetz y funciones de Lefschetz. Número local de Lefschetz. Teorema de descomposición. Número local de Lefschetz y grado.
Tema 7. Campos tangentes. Campos tangentes y ceros. Índice de una campo en un cero aislado. Relación con el número local de Lefschetz. Teorema del índice de Poincaré-Hopf. Ejemplos: poliedros, superficies compactas. Ceros no degenerados. Índice de un campo en un cero no degenerado.
Tema 8. Teorema de Gauss-Bonnet. Hipersuperficies afines. Aplicación de Gauss y curvatura. Integral, grado y cohomología. Cálculo del grado de la aplicación de Gauss. Teorema de Gauss-Bonnet.
Tema 9. Teoría del grado en espacios afines. Definición y propiedades fundamentales: invarianza por homotopía, y naturaleza local constante. Teorema de Borsuk-Ulam. Teorema de invarianza del dominio. Fórmula de multiplicación. Teorema de Jordan para compactos arbitrarios. Teorema de Hopf para dominios afines.
Bibliografía
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