Topología Elemental

Tema 1. Espacios topológicos. Abiertos. Cerrados. Adherencia e interior. Frontera. Puntos de acumulación. Entornos y bases de entornos. Bases y subbases de abiertos. Conjuntos densos. Topología relativa.
Tema 2. Aplicaciones continuas. La noción de continuidad. Caracterizaciones de la continuidad por abiertos, cerrados, interiores y adherencias. Caracterización por recubrimientos. Homeomorfismos. Aplicaciones abiertas y cerradas. Composición de aplicaciones continuas.
Tema 3. Construcción de topologías. Subespacios e inmersiones. Espacios cocientes e identificaciones. Factorización de aplicaciones continuas. Productos de espacios topológicos. Sumas de espacios topológicos. Caracterizaciones universales.
Tema 4. Separación. Separación de puntos en un espacio topológico. Espacios de Hausdorff. Puntos cerrados, diagonal cerrada, coincidencia de aplicaciones continuas. Comportamiento por construcciones.
Tema 5. Numerabilidad. Convergencia de sucesiones en espacios topológicos: noción general y anomalías. Axioma 1º de numerabilidad. Axioma 2º de numerabilidad. Separabilidad. Relaciones entre estas propiedades. Comportamiento por construcciones.
Tema 6. Compacidad. Espacios compactos. Subespacios cerrados, imágenes continuas. Teorema de Tychonoff. Espacios localmente compactos. Subespacios localmente cerrados. Comportamiento por construcciones. Compactificación de Alexandroff.
Tema 7. Conexión. Espacios conexos. Teorema del pivote y variantes. Cadenas en espacios conexos. Adherencias de conjuntos conexos. Imágenes continuas. Espacios localmente conexos. Comportamiento por construcciones.
Tema 8. Conexión por caminos. Caminos en un espacio topológico. Conexión por caminos. Componentes conexas por caminos. El seno del topólogo. Conexión local por caminos. Comportamiento por construcciones.
Tema 9. Grupo fundamental. Homotopía. Producto de caminos y lazos. Grupo fundamental de un espacio topológico. Conjuntos convexos. Espacios simplemente conexos. Grupo fundamental de las esferas. Formulación de la conjetura de Poincaré.
Tema 10. Recubridores. Espacios recubridores. Problema de elevación. Unicidad y existencia. Grupo fundamental de los espacios proyectivos reales. Grupo fundamental de la circunferencia.
Tema 11. Aplicaciones en dimensión 2. El teorema fundamental del álgebra. Teoremas de Brouwer: punto fijo, esfera peluda. Invarianza de la dimensión. Teorema de Borsuk-Ulam. Invarianza del dominio.
Tema 12. Funtorialidad. Aplicaciones continuas y grupo fundamental. Retractos de deformación. Grupo fundamental del cilindro, de la banda de Moebius.  Construcciones de superficies compactas como cocientes.