Panorama de la matemática

El año 1984 publicó la Editorial Labor una Enciclopedia bajo el título Avances del Saber. En su tomo 5, dedicado a la Ciencia, Técnica y Cultura, apareció este Panorama de la Matemática que, aunque ya obsoleto en unos cuantos respectos, tal vez sea útil en la parte que se refiere a los aspectos generales de la matemática.

Miguel de Guzmán

Indice

INTRODUCCIÓN

MATEMATICA FUNDAMENTAL

Lógica matemática
Teoría de números
Análisis combinatorio
Algebra
Análisis
Geometría

LA MATEMATICA DE LAS APLICACIONES

EL PAPEL DE LA MATEMATICA EN NUESTRA CULTURA

BIBILIOGRAFÍA
Introducción.

¿Qué es la matématica? Ante la dificultad de dar una respuesta adecuada a esta pregunta, algunos han propuesto: «La matemática es lo que los matemáticos hacen». No aclara mucho la cuestión, pero no deja de ser por ello un buen punto de partida. La mejor explicación de lo que la matemática es en la actualidad se obtiene, efectivamente, penetrando en el taller del matemático y observando atentamente lo que hace. Por eso, en esta exposición trataremos, en primer lugar, de recorrer panorámicamente algunas de las diferentes áreas de actividad de los que actualmente denominamos matemáticos. Más adelante procederemos a analizar un poco más profundamente el sentido general de esta actividad.

Se intenta a veces encasillar a los matemáticos en dos grandes grupos, el de los matemáticos «puros» y el de los «aplicados». Los «puros» serían quienes sólo se preocupan por el estudio y desarrollo de las estructuras matemáticas por sí mismas; los «aplicados», aquellos que se enfrentan con las realidades de la naturaleza que admiten algún modo de tratamiento matemático, con la intención de entender, explorar y aprovechar tales realidades mediante el conocimiento que se pueda desprender de dicho tratamiento matemático al que más o menos se ajusta esa realidad. Así, se suele hablar de matemática pura y matemática aplicada. El concebir tal división como dos compartimientos estancos es totalmente inadecuado

desde un punto de vista histórico y altamente perjudicial para el desarrollo de estos dos tipos de matemática. Los matemáticos más eminentes, Arquímedes, Newton, Gauss, Poincaré, Hilbert, von Neumann, Weyl…. han desarrollado ambos aspectos de la matemática,y es claro que un sano desarrollo dé ésta no puede obtenerse sino mediante una interacción de estos dos tipos de actividad dentro de ella.

El mismo nombre de matemática pura parece implicar una actitud introvertido y enfermiza, y por ello es preferible describir la actividad alrededor de las mismas estructuras matemáticas con el nombre de matemática fundamental, y la de aquellos que consideran especialmente las aplicaciones, con el de matemática de las aplicaciones. El proceso de interacción

entre una y otra se puede describir del siguiente modo: La naturaleza presenta una realidad física, química, biológica, social…. que parece deseable explorar y controlar. De la observación de tal realidad se extrae un modelo matemático al que parece ajustarse en su funcionamiento. Este modelo se desarrolla con las herramientas y técnicas matemáticas adecuadas existentes, o bien se crean estructuras matemáticas nuevas que permitan su conocimiento más profundo. En este estudio el matemático, empujado por el deseo de conocer en profundidad la estructura mental que subyace al modelo, va en muchas ocasiones mucho más lejos de lo que el mero dominio de la realidad inicial exigiría. Una vez conocido el modelo y las leyes que lo rigen, se trata de ensayar este dominio conceptual en la realidad de partida. El conocimiento alcanzado del modelo, en parte tal vez superfluo por el momento, queda almacenado y quizá algún día será usado.

En la descripción que sigue de los diferentes campos de la matemática actual trataremos de indicar específicamente algunos de los puntos en los que esta interacción se presenta.

Al describir los diversos entornos de la matemática fundamental y de la matemática de las aplicaciones es necesario tener en cuenta asimismo que la matemática hoy día constituye una unidad orgánica en la que la interdependencia entre sus diversos campos es tal vez una de las notas más llamativas de la matemática contemporánea. No se puede, por ejemplo, hablar de lógica matemática sin tener en cuenta las modernas ciencias de la computación, ni de geometría ignorando el análisis.

Al final de nuestro recorrido examinaremos brevemente el sentido profundo de la actividad matemática y su papel en la cultura humana.

MATEMÁTICA FUNDAMENTAL

La breve descripción que sigue de las diferentes ramas de la matemática fundamental pretende dar una idea, sin tecnicismos, del espíritu e intenciones que animan la actividad de quienes trabajan en ellas. Para obtener una idea más exacta remitimos a la bibliografía al final de este trabajo, donde se pueden encontrar exposiciones más detalladas escritas por especialistas.

Lógica matemática

La lógica aparece ya desarrollada, incluso en forma simbólica, en la filosofía de Aristóteles. Sin embargo, corresponde realmente a la segunda mitad del siglo xix el reconocimiento de que las operaciones lógicas ordinarias pueden ser expresadas mediante operaciones algebraicas. Entonces se comenzó asimismo a sospechar que los números naturales, así como los demas objetos matemáticos, podrían ser definidos en términos puramente lógicos.

La motivación principal para muchos matemáticos de los siglos xix y xx en su dedicación al desarrollo de la lógica fue el deseo de deshacerse de las paradojas que surgieron en la teoría de conjuntos creada por Cantor. Un ejemplo: al considerar conjuntos diversos, parece claro que hay conjuntos que son elementos de sí mismos. Por ejemplo, el conjunto A de todas las cosas que no son verdes es una cosa no verde y por lo tanto un elemento de A. Llamemos a estos conjuntos autopertenecientes. Todos los otros conjuntos serán llamados noautopertenecientes. Asimismo, parece claro que puede uno considerar el conjunto C formado por todos los conjuntos noautopertenecientes. A continuación nos podemos preguntar si C es un conjunto autoperteneciente o noautoperteneciente. Pero si C es autoperteneciente, entonces es elemento de C y, como tal, es noautoperteneciente. Y si C es noautoperteneciente, entonces C debe ser un elemento de C, v por tanto C es autoperteneciente. ¿Cómo salir del atolladero?

Es claro que el razonamiento lógico necesita cierto control, si no queremos ser conducidos a situaciones semejantes. Para saber a qué atenerse en este respecto se ideó el procedimiento de formalización de los razonamientos matemáticos: partimos de ciertas proposiciones claramente establecidas, los axiomas, las manipulamos de acuerdo con reglas de inferencia bien determinadas e incluso exigiremos que axiomas y reglas sean representables mediante símbolos cuyo manejo se convierta así en manipulaciones puramente automáticas. De esta forma, puestos los axiomas y las reglas de inferencia, se podría comprobar (incluso por medio de una máquina) si un razonamiento que a partir de los axiomas da lugar a una proposición se ajusta a las reglas, es decir, si esta proposición es un teorema demostrable del sistema deductivo.

Durante muchos años se pensó que se podría construir un sistema en el que todo razonamiento matemático podría ser formalizado y su verdad controlada de esta forma, al menos en principio. Tal esperanza se derrumbó con la demostración de Gödel (1931) de que cualquier sistema que incluya la aritmética de los números naturales es incompleto, es decir, existen en él proposiciones que son verdaderas que no pueden ser demostradas dentro del sistema. El resultado de Gódel constituye uno de los puntos culminantes de la actividad del siglo xx en lógica matemática, y sus repercusiones en el pensamiento filosófico y en la teoría del conocimiento actuales son verdaderamente profundas.

Otro de los resultados más importantes del siglo en lógica matemática consiste en la demostración por Cohen (1963) de la independencia de la llamada hipótesis del continuo, según la cual no existiría ningún tipo de infinitud intermedio entre el modo de ser infinito de los números naturales y el de los números reales, es decir, que el infinito de los números reales es el infinito inmediatamente superior al de los números naturales. Cohen demostró que aquí se da una situación parecida a la de las geometrías no euclídeas. Es posible construir una matemática cantoriana, en la que la hipótesis del continuo es un axioma, y es posible también construir una matemática no cantoriana, en la que es un axioma la negación de la hipótesis del continuo.

La lógica matemática tiene, además de esta vertiente abstracta y filosófica, otra eminentemente aplicada y concreta. Al tratar de reducir el razonamiento deductivo de una manipulación con símbolos, la lógica prepara el camino para la introducción del computador en la ciencia. Una teoría formalizada es una teoría, al menos en principio, enteramente manipulable por un computador. El trabajo de los lógicos y de los analistas de la computación tiene, por tanto, mucho en común. Los lógicos se preguntan si ciertos problemas pueden ser, en principio, reducibles a un algoritmo, o sea, a una serie de operaciones bien definidas con símbolos, y cómo. El analista de la computación se pregunta si ciertos problemas pueden ser resueltos mediante algoritmos en un espacio de tiempo razonable mediante las máquinas existentes actualmente y cuál es el modo óptimo de hacerlo. Los progresos en el aspecto abstracto de la lógica pueden conducir a soluciones de los problemas de la ciencia de la computación, y viceversa.

Teoría de números

La teoría de números, la reina de las matemáticas, como Gauss la llamó, es tal vez la disciplina matemática más antigua y la que ha ejercido sobre los hombres de todas las épocas una fascinación más profunda. Está llena de problemas sin resolver, cuvos términos son perfectamente inteligibles para todos y que, sin embargo, han desafiado la sagacidad de los matemáticos más potentes durante siglos. He aquí unos cuantos ejemplos: ¿Es cierto que todo número par positivo es suma de dos números primos? Ésta es la conjetura de Goldbach, formulada a comienzos del siglo xviii. ¿Es cierto que si n es mayor o igual que 3 no existen tres números enteros positivos x, y, z, tales que x^n + y^n=z^n? Éste es el llamado teorema de Fermat, del que aún no se ha llegado a demostrar su verdad ni su falsedad. ¿,Existen infinitas parejas de números primos gemelos, es decir, infinitas parejas de números impares consecutivos que son primos, como el 17 y el 19, el 71 y el 73… ?

Un fenómeno característico de la moderna teoría de números es la versatilidad de sus métodos. De multitud de teoremas en cuyas hipótesis y conclusiones no entran sino los conceptos de número y sus operaciones aritméticas no se conocen más que demostraciones basadas en teoremas nuy profundos de la teoría analítica de variable compleja, o de la teoría de la probabilidad, e incluso de la lógica matemática. Las primeras demostraciones del teorema de distribución de números primos que afirma que el número de números primos entre 2 y N cuando N es grande es aproximadamente

N/(1 + 1/2+ 1/3 +1/4+ … + 1/N)

estuvieron basadas en la teoría de funciones de variable compleja y en la teoría de la probabilidad.

La actual teoría de números se ha visto enriquecida con la aparición de las nuevas técnicas de computación automática. Los computadores pueden se utilizados en ella experimentalmente, por ejemplo para comprobar que una conjetura es falsa, y también como una ayuda en los métodos de demostración allí donde los razonamientos se ramifican má allá de las posibilidades de la mente humana sin ta ayuda.

Análisis combinatorio

La cuestión fundamental del análisis combinatori es la siguiente: ¿De cuántas maneras diferentes s puede realizar una determinada tarea? Por ejemplo: una secretaria tiene escritas diez cartas diferentes para diez personas diferentes. Ha escrito también en diez sobres las señas de estas personas. ¿De cuántas formas diferentes puede equivocarse al meter las cartas en los sobres? Tales problemas son a menudo fáciles de enunciar y difíciles de resolver, requiriéndose, en general, ni más ni menos que lo que Gauss llamó un contar inteligentemente. Un mapa plegable de Madrid que tiene tres dobleces verticalmente y cuatro horizontalmente, ¿de cuántas maneras diferentes se puede plegar? El problema general, que pide una fórmula que dé el número de maneras diferentes de doblar un mapa conocido el número de pliegues está aún por resolver.

Uno de los problemas abiertos durante más de siglo y cuarto es el de los cuatro colores. Está a medio camino entre la combinatoria y la topología. Se trata de colorear un mapa con el menor número posible de colores de tal modo que dos países adyacentes no tengan el mismo color. Es muy fácil ver que tres colores no bastan en general y se puede demostrar que cinco son suficientes para colorear adecuadamente cualquier mapa. ¿,Se puede hacer con cuatro? El problema, resuelto afirmativamente en 1976 por Appel y Haken, con la ayuda esencial del computador, ha abierto, como veremos más adelante, profundos interrogantes sobre la naturaleza misma de la demostración matemática.

Es sorprendente el número de campos de la ciencia v de la tecnología en los que se plantean problemas combinatorios y se aplican sus resultados. La genética, la bioquímica, la mecánica estadística, el diseño de circuitos, la teoría de lenguajes de programación… se aprovechan de los resultados obtenidos en esta área de la matemática. El del viajante es uno de esos problemas en que la aplicabilidad de la teoría es bien patente. Se trata de establecer el itinerario más económico que un viajante comercial puede seguir en su visita por un número de ciudades, teniendo en cuenta el gasto que el desplazamiento de una a otra le supone.

Álgebra

Las tres secciones clásicas de las matemáticas son el álgebra, el análisis y la geometría.

El álgebra clásica tiene que ver con la solución de las ecuaciones familiares de primero, segundo, tercer grado, etc… y en este sentido el álgebra tiene ya más de cuatro mil años de ailtigüedad. El florecimiento del álgebra moderna es cosa de los últimos cincuenta años. El álgebra moderna estudia las estructuras algebraicas que vienen a ser sistemas de elementos con operaciones semejantes a las que se pueden realizar con los números enteros, racionales, reales, complejos. El estudio abstracto de tales estructuras representa una enorme economía de pensamiento, ya que aparecen repetidas muchas veces en muv diversas áreas de una forma natural. Los teoremas demostrados sobre la estructura abstracta son así inmediatamente aplicables. Por otra parte, tal estudio pone de manifiesto la unidad profunda de los diversos campos de la matemática.

Un sistema de elementos entre los que se pueden realizar dos operaciones que siguen las mismas leyes formales de la multiplicación y adición entre números racionales se denomina un cuerpo. Hacia 1830, Galois descubrió la existencia de cuerpos con un número finito de elementos. Si p es un número primo, consideramos los elementos 1, 2, 3…. p-1. El «producto» de dos de estos elementos a, b es definido como el producto ordinario cuando éste es menor que p. Si es p o mayor, entonces dividimos por p y tomamos el resto de esta división como «producto» de a y b. Análogamente se define la «suma». «Producto» y «suma» así definidos siguen las leyes formales de la adición y producto ordinarios entre números racionales. El opuesto de 2 es p-2, ya que 2 «más» p-2 es 0 y el inverso de 2 es el elemento h de nuestro conjunto tal que 2 por h da como resto 1 al dividirlo por p. Son muchos los conjuntos en matemáticas que aparecen de modo natural y que poseen la estructura de cuerpo. Los números reales, los números complejos, las funciones racionales, es decir, las de la forma Px)/Q(x), donde P y Q son polinomios de coeficientes reales, Q distinto del polinomio 0, etcétera.

La teoría de cuerpos estudia, por ejemplo, la estructura del cuerpo K formado al adjuntar a un cuerpo inicial F un nuevo elemento raíz de un polinomio con coeficientes del cuerpo F.

Un anillo es un conjunto de elementos con dos operaciones que se comportan como la adición y multiplicación ordinarias entre enteros. Es decir, es como un cuerpo, salvo que no todo elemento tiene un inverso respecto de la multiplicación, o sea, un elemento tal que multiplicado por él resulte la unidad. También puede suceder que el anillo no sea conmutativo, esto es, que el producto de dos elementos dependa del orden en que se multipliquen. El conjunto de las matrices nxn forman un anillo no conmutativo. Como se sabe, una matriz no tiene inversa si su determinante se anula. Los anillos surgen de modo natural en álgebra, análisis y en otros campos. La teoría de anillos es una herramienta importante en la matemática actual.

El campo del álgebra moderna que más aplicaciones encuentra en otras ramas de la ciencia, como la física, estadística, ingeniería, análisis numérico, ciencias sociales…, es el álgebra lineal. La motivación de su desarrollo fue el tratamiento de las ecuaciones lineales, y su creación principal es el espacio vectorial. La mejor imagen del espacio vectorial es el manojo de todas las flechas posibles con su base fija en un punto, definiendo como suma de dos flechas la flecha diagonal del paralelogramo que determinan, y como producto de una flecha por un número real positivo, la flecha en la misma dirección y sentido que la dada con una longitud igual a la de la dada multiplicada por dicho número. Si el número es negativo se cambia primero de sentido a la flecha dada. Si fijamos tres flechas perpendiculares dos a dos, es claro que cualquier flecha queda determinada si se conocen las tres proyecciones ortogonales de la punta de esta flecha sobre las tres flechas fijadas. El conjunto de flechas con esta estructura, operaciones de suma y de multiplicación por un número real, es un espacio vectorial de dimensión 3. Se puede ampliar esta concepción y obtener un espacio de dimensión 4, 5, 7, etc., y aun de dimensión infinita. El álgebra lineal estudia principalmente los espacios vectoriales de dimensión finita. Muchos de sus resultados son válidos para espacios de dimensión infinita, cuyo estudio es objeto del análisis funcional.

La estructura algebraica más fundamental, y la más simple, es la de grupo. Un grupo es un conjunto de elementos con una operación que relaciona cada dos de ellos de la misma forma que la suma ordinaria relaciona los enteros, excepto que en general no se requiere que esta operación sea conmutativa. Tomemos como elementos A, B, C y definamos una operación entre cada dos de ellos mediante la tabla

* A B C

A A B C

B B C A

C C A B

Resulta así un grupo. Otro es el conjunto de los números enteros con la operación ordinaria de suma. Ambos son conmutativos. El primero tiene orden 3, es decir, el número de sus elementos es 3, tiene orden finito. El conjunto de las matrices de números reales 2 x 2 con determinante distinto de cero constituye, con la operación de multiplicación ordinaria de matrices, un grupo no conmutativo.

Un problema, por largo tiempo abierto, en teoría de grupos ha consistido en establecer cuál es la estructura básica de todos los grupos de orden finito, reduciéndolos a sus piezas fundamentales, que son los llamados grupos simples. El problema ha sido concluido, tras muchos años de trabajo y mediante la colaboración de docenas de algebristas contemporáneos, el año 1980.

La importancia de la teoría de grupos en matemáticas y sus aplicaciones es inmensa, y su aparición en todos los campos es probablemente debida a que los grupos describen matemáticamente la simetría existente en las estructuras matemáticas, científicas, tecnológicas e incluso artísticas. Galois, el iniciador de la teoría, descubrió que las raíces de las ecuaciones de grado 2, 3, 4, poseen un tipo de simetría que no se presenta en general en las de las ecuaciones de quinto grado. Ésta es la razón profunda por la que, mientras la ecuación general de segundo grado ax^2 + bx + c = 0 admite una expresión sencilla mediante radicales para expresar sus soluciones,

– b -+sqrt(b^2-4ac)

así como también las de tercero y cuarto grado, sin embargo esto no es posible para la de quinto grado. La teoría de grupos ha sido utilizada, con enorme éxito, en cristalografía, espectroscopia, teoría de iones inorgánicos complejos, mecánica cuántica, y se espera que sus resultados puedan aclarar muchos problemas oscuros en la frontera de la física actual.