CUMBRES DE LA HISTORIA DE LA MATEMÁTICA
En el intento de exploracion por el hombre de su universo, la matemática ha jugado un papel fundamental desde muy temprano. Poco a poco, la especie humana ha ido enfrentándose con los diferentes niveles de complejidad que, tanto el mundo a su alrededor como su mismo mundo mental, le presenta. En muchas ocasiones, el dominio de tal complejidad ha ido íntimamente unida con avances importantes de la matemática. En estas pocas páginas analizaremos unos cuantos de estos momentos de la historia de la matemática, profundamente influyentes en el desarrollo de esta ciencia y, a través de ella, en la evolución misma de la civilización humana.
MESOPOTAMIA
Desde el punto de vista matemático, el reto más cercano que tiene el hombre consiste en dominar eficazmente la multiplicidad. El mundo no es un caótico montón, sino que se presenta como una pluralidad ordenable. La concepción del número es por eso, en el fondo, tan antigua como el hombre, pero su tratamiento simbólico eficaz no fue obtenido hasta que en Mesopotamia fue ideado el sistema de numeración posicional que hoy seguimos utilizando en nuestra cultura, después de haberse perdido su uso en Occidente durante milenios. Cada cifra, 5, 1, 7 del número 5117 tiene un doble significado: el propio de su símbolo y el de su posición dentro del número representado (el primer y el segundo 1 de 5117 significan algo distinto). La notación posicional de los mesopotamios, como la nuestra actual, tiene dos cualidades que la convierten en un instrumento ideal para la matemática, distinguiéndose en esto de otros sistemas de numeración, también posicionales, como el romano y el griego. En primer lugar, su simplicidad suma, que hace muy transparente lo que el símbolo representa y además la adecuación efectiva a las manipulaciones que con los números conviene hacer. Sumas, restas, multiplicaciones… resultan una tarea sencilla en el sistema mesopotámico y una verdadera pesadilla en el de los romanos, por ejemplo.
Junto a la numeración posicional, los mesopotamios dispusieron para sus cálculos de otro gran instrumento: la base sexagesimal de numeración. Es posible que ésta, que toma como unidad básica de clasificación el número 60, al igual que nuestro sistema decimal toma el 10, apareciese en un intento de unificar las medidas en diversos sistemas de numeración previos, tal vez en base 10 y en base 12. En nuestra misma cultura, la influencia mesopotámica es todavía patente en nuestra medición del tiempo y de los ángulos, tareas ambas en que los astrónomos babilonios fueron expertos.
El gran hallazgo de los pueblos mesopotámicos para dominar el número no pasó a la cultura occidental posterior a través de griegos ni de romanos. Fueron los pueblos orientales, persas, indios, quienes conservaron por muchos siglos este saber que sólo a través de la dominación árabe llegó muy tardíamente al mundo occidental. Es tentador especular sobre las causas de este fenómeno, pero parece claro que, en general, los griegos clásicos y, en grado mucho mayor, los romanos, se desinteresaron del trabajo de efectuar experimentos, observaciones y mediciones exactas. No era éste el talante de su espíritu.
EL ESPIRITU GRIEGO
La estela dejada en la historia de la humanidad por los griegos entre los siglos VII a. de C. y II a. de C. representa, sin duda, la influencia más profunda ejercida por un único pueblo; también en la historia de la matemática. La irrupción del genio griego en la matemática trajo consigo toda una colección de victorias intelectuales difícilmente ponderadas en su justo grado. A la racionalidad típica del espíritu griego debemos la convicción, nacida de la intuición pitagórica, «una chispa divina», como afirmó Whitehead, de que el universo no es un caos enmarañado, sino un cosmos ordenado, inteligible por la razón humana, y precisamente del modo más eficaz por la razón matematizante. Para Pitágoras, «todo es armonía y número», y en el fondo, ésta es también la fe subyacente a nuestro mundo científico, que aflora de forma explícita a lo largo de la historia de la ciencia en personajes como Galileo, Kepler, Newton, Descartes…: la matemática es el instrumento adecuado para estudiar la estructura del mundo observable.
A lo largo de los cuatro siglos que median entre Tales de Mileto y Pitágoras (VI a. de C.) y Euclides, Arquímedes y Apolonio (III a. de C.) el espíritu griego fue enfrentándose con lo que constituye aún una tarea inacabada. Ellos afrontaron con éxito la tarea de dar consistencia racional rigurosa al pensamiento matemático, convirtiéndolo en modelo para todo el pensamiento científico posterior. El texto de los Elementos de Euclides constituye la obra científica más influyente en todo el tra,nscurso de la historia de la ciencia.
También los griegos acometieron por vez primera seriamente el problema que proporciona una verdadera profundidad a la matemática: la comprensión del infinito matemático y su correcta utilización. Desde las paradojas de Zenón al teorema de Gödel en nuestro siglo XX hay una línea de continuidad en la preocupación por desentrañar los misterios del infinito matemático, siempre más profundo.
La matemática griega se caracteriza muy especialmente por sus logros en el dominio de la complejidad que presenta el espacio y la forma. La geometría representa el intento de dar racionalidad matemática a las relaciones espaciales, y es en ella donde los griegos tuvieron ocasión de desarrollar el modelo de ciencia deductiva que se impuso posteriormente. Los Elementos de Euclides han constituido el paradigma científico hasta hoy. La profundidad y el ingenio desplegados por los geómetras griegos, en especial por Arquímedes y Apolonio, resultan una fuente inagotable. Arquímedes. por otra parte, representa un punto singular en el mundo griego por razón de la enorme amplitud de sus intereses y por la genialidad de sus métodos sin precedentes. El, junto con Newton en el siglo XVII, y Gauss, en el XIX, forma el grupo destacado de genios entre los genios de la matemática.
UN LARGO INTERLUDIO
Tras el siglo III a. de C. comienza un largo período de relativo estancamiento en el progreso de la matemática. Es difícil hacer afirmaciones bien fundamentadas sobre las razones de este hecho. La transición de la hegemonía griega a la romana contribuyó, ciertamente, a ello. El espíritu romano no parece haber estado tan predispuesto como el griego para la especulación científica ni filosófica. Su gran obra intelectual fue el asentamiento del derecho. Los bárbaros, que sucedieron a los romanos en el poder sobre el occidente europeo, carecían en un principio del refinamiento necesario para gustar de los placeres de la actividad intelectual. El centro de gravedad de la matemática, como de la filosofía y las otras ciencias, se trasladó al Oriente, donde floreció, con sus tintes y sabores peculiares, en la India y Persia, conservándose allí gran parte de las tradiciones y herencias de la Grecia clásica.
La expansión del imperio árabe propició el contacto de éstos con la cultura griega. Pronto los árabes se hicieron familiares con los tesoros intelectuales de los pueblos de Oriente y llegaron a convertirse en el foco de irradiación de la cultura griega clásica. La España de los siglos XI y XII, y más concretamente Toledo, con su famosa escuela de traductores, fue el punto de enlace del occidente europeo con la cultura griega. Fueron muchas las obras de los griegos que llegaron a Occidente por tan tortuosos vericuetos. Halley, en el siglo XVII, el famoso astrónomo contemporáneo de Newton, tuvo la energía suficiente para aprender árabe con el fin de traducir y editar en latín algunas de las obras de Apolonio que no han llegado a nosotros más que en su versión árabe.
Sin embargo, la actividad matemática del Oriente durante estos largos siglos que median entre la brillantez de Arquímedes y la de los grandes genios del siglo XVII, no se redujo a un mero rumiar los resultados de los griegos. Especialmente en astronomía y en trigonometría plana y esférica se lograron importantes resultados.
Por otra parte, no se debe tampoco pensar que el papel de los árabes durante estos siglos se restringió al de meros transmisores de la cultura griega clásica. Ellos fueron quienes en el siglo IX comienzan con las manipulaciones con símbolos, que condujeron a la invención del álgebra, que llegó a un gran florecimiento de la Europa occidental durante los siglos XV y XVI. La invención del álgebra fue enormemente influyente en el desarrollo posterior de la matemática. En sí misma el álgebra representa un paso analítico muy importante en el dominio y uso racional del símbolo. Un paso casi comparable, en influencia, con la sustitución de la representación analógica del número (montones de piedrecillas, o bien muescas en una roca) por su representación simbólica.
Pero, por otra parte, el maridaje del álgebra con la geometría que Descartes llevó a cabo con la geometría analítica fue capaz de resolver de forma sencilla y mecánica muchos problemas difíciles de la geometría clásica, al tiempo que estimuló y preparó el camino para la invención del cálculo infinitesimal. Pero estos desarrollos corresponden a la obra de los grandes matemáticos del siglo XVII.
EL SIGLO DE LOS GENIOS
La acumulación de talento matemático en el siglo XVII parece difícilmente repetible. Galileo, Kepler, Descartes, Fermat, Pascal, Newton, Leibniz, Huygens… son los nombres más importantes que llenan el siglo con genialidades matemáticas en cuya estela estamos todavía navegando.
Una renovación de la visión pitagórica del papel de la matemática en la exploración del mundo, ahora con unas herramientas mucho más potentes a su disposición, es la que guía esta eclosión de actividad matemática. Como Galileo afirmaba, el libro de la naturaleza está escrito en lenguaje matemático y a ese lenguaje hay que acudir para eliminar sus inisterios.
El enigma al que este espíritu fue aplicado con más éxito fue el de la exploración cuantitativa del cambio y de las transformaciones que se realizan en los fenómenos naturales, en primer lugar de la mecánica. El camino ya estaba preparado, por una parte, por la existencia de instrumentos de medida, del tiempo y de otras magnitudes, cada vez más perfeccionados, y por otra, mediante el alumbramiento del incipiente concepto de función, ya de alguna forma presente en los conceptos de la geometría analítica. De esta conjunción de circustancias nació el cálculo, la creación matemática más influyente en el desarrollo de las diferentes ciencias. Primero en forma incipiente, por obra de Newton y Leibniz, pero ya desde el principio quedando bien presente la incomparable potencia de este instrumento que ha revolucionado la ciencia y tecnología posteriores.
También en este período comienza, con Fermat y Pascal, el enfrentamiento propiamente matemático con otro de los aspectos de la complejidad del mundo a nuestro alrededor: la complejidad ocasionada por lo que llamamos el azar. La teoría de la probabilidad nace, como tantos otros aspectos de la matemática, en son de juego, y con el tiempo pasa a convertirse en uno de sus campos importantes y rigurosos, con consecuencias prácticas muy importantes.
En lo que respecta a otros aspectos más puramente matemáticos de este período se puede resaltar el trabajo realizado por Fermat en teoría de números, quien al margen de una obra del griego Diofanto, recientemente editada en latín, señaló resultados y problemas que dejaron trazadas las líneas de trabajo hasta los tiempos actuales.
Un aspecto interesante de algunos de los matemáticos más eminentes de este siglo, Descartes, Pascal, Leibniz, es el de la amplitud de su interés intelectual. Descartes y Leibniz son personajes tan importantes o más en el desarrollo de la filosofia como en el de la matemática. Pascal figura con sus Pensamientos como un importante jalón en la literatura religioso-teológica. Newton, por su parte, también participó en privado de este interés profundo de las especulaciones filosófico-teológicas, pero no quiso dar a conocer nada de ello a sus contemporáneos. La interacción entre matemática y filosofía, que se refleja en la obra de Descartes y Leibniz, marcó el rumbo de la filosofta por un período bien dilatado.
EL SIGLO XVIII
La característica más acusada del siglo XVIII es la explotación de los nuevos métodos del análisis creados en el siglo anterior a fin de obtener un dominio matemático pleno de diversos campos de la fisica. El cálculo infinitesimal, que aún no se había logrado establecer de un modo riguroroso, demostraba ser tan útil en sus aplicaciones que los matemáticos ahogaron sus escrúpulos con una confianza basada en su propio éxito. Como decía DAlembert: «Id adelante y la fe os llegará».
Los diversos miembros de la familia Bernoulli, Euler, lHôpital… competían con su entusiasmo por aplicar la potencia del análisis a la fisica. Más tarde, Lagrange, Laplace, se sucedieron con grandes tratados que constituyeron las obras clásicas de la fisica matemática.
La sistematización del análisis fue obra de Euler: el matemático más prolífico de todos los tiempos, a la vez que el dotado de mayor talento expositor. Sus Institutiones calculi dillerentialis y las Institutiones calculi integralis tuvieron tal influencia, que la dedicación al análisis de los matemáticos del siglo eclipsó la ocupación a cualquier otra rama de la matemática.
La segunda mitad del siglo XVIII y el comienzo del XIX constituyeron la época de mayor esplendor de la matemática francesa. Los matemáticos franceses de fin del XVIII se ocuparon activamente en revitalizar la geometría con creaciones como la geometría diferencial, la descriptiva y la proyectiva, que constituyeron campos nuevos de gran influencia en el desarrollo geométrico posterior:
EL SIGLO XIX
La nota más característica de la actividad matemática del siglo XIX es la de asentamiento, el intento de fundamentación, rigurosa de muchos de los logros conseguidos durante los dos siglos precedentes. En este período se obtiene un nivel de rigor que empalma con el espíritu que animaba en este respecto a los griegos cláxo,. Euclides, Arquímedes, Apolonio. El iniciador de esta empresa es Cauchy, a través de sus cursos en París, que fueron publicados en los años 20.
Naturalmente que la actividad expansiva, en especial del análisis matemático, continúa incansablemente. Una de las obras cumbres de la matemática aplicada se produce en 1821, por Fourier: la Teoría analítica del calor, que por una parte proporcionaba una transcendental herramienta nueva a las matemáticas ocupadas en las aplicaciones, mientras que por otra proporcionaba un sinfin de problemas profundos a los analistas matemáticos, lo que constituyó un fuerte estímulo hacia una fundamentación seria del análisis.
Relacionado con el intento de profundización en los fundamentos de la matemática que se ha mencionado antes, está el hallazgo de las geometrías no euclídeas, en la primera mitad del siglo, por Lobachevsky, Bolyai y Gauss. La sorpresa de los matemáticos ante construcciones geométricas que contradecían a la euclídea y que eran tan consistentes como ella desde el punto de vista lógico fue un punto de partida muy importante para tratar de repensar y entender mejor los fundamentos epistemológicos de la matemática.
El centro del mundo matemático se traslada a Alemania, y ello es debido al peso científico de Gauss, el Príncipe de los matemáticos, indiscutiblemente el talento más profundo y más completo del siglo XIX y posiblemente de toda la historia de las matemáticas. Las aportaciones de Gauss cubren todo el espectro de la matemática básica contemporánea, teoría de los números, análisis, geometría, álgebra, con obras en cada campo que por sí solas hubieran bastado para hacer de él la figura dominante. Tal es, por ejemplo, el tratado Disquisitiones arithmeticae, publicado en 1801, contando Gauss 24 años de edad. Porque, además, Gauss tuvo capacidad sobrante para dedicarse a casi todas las ramas de las matemáticás aplicadas y dejar en ella su impronta.
Sucesores y seguidores de Gauss fueron Dirichlet, Riemann, Weierstrass y toda una escuela floreciente que contribuyó muy eficazmente a la fundamentación sólida del análisis y de otras ramas de la matemática.
Al final del siglo XIX y comienzos del XX la preocupación por los fundamentos desemboca en el desarrollo de la teoría de conjuntos, por Cantor, y de la lógica matemática. La naturaleza epistemológica de la matemática fue analizada con sumo interés, con la intención de encontrar por fin una fundamentación sobre la que hacer descansar todo el edificio matemático.
Los matemáticos más importantes a caballo entre un siglo y otro son, sin duda, Poincaré y Hilbert, quienes se pueden contar como los últimos matemáticos verdaderamente universales que han poseído un dominio pleno de la mayor parte de la matemática contemporánea.
DOS ASPECTOS IMPORTANTES DE LA MATEMÁTICA DEL SIGLO XX
El progreso de la matemática en el siglo XX es tan espectacular en extensión y profundidad que se ha llegado a afirmar que las creaciones matemáticas en sólo este período vienen a superar con mucho toda la producción realizada antes del siglo XX. Esto hace que una descripción somera de la matemática de este siglo sea una tarea imposible. Pero hay varios desarrollos que probablemente dejarán marcado muy fundamentalmente el sendero de la matemática en el futuro.
Desde el punto de vista de la comprensión del sentido profundo del quehacer matemático, el teorema de Gödel es el gran resultado del siglo. A partir de él la matemática se entiende como una actividad humana distinta de lo que antes se pensaba ser, tal vez más modesta, pero considerablemente más profunda y reveladora de lo que es la mente humana, creadora del edificio matemático.
Desde un punto de vista más técnico y más práctico, el desarrollo más espectacular de la matemática del siglo XX ha sido el originado por la irrupción intensa del ordenador en la matemática misma, en todas las otras ciencias y en nuestra cultura en general. Incluso los mismos métodos de trabajo de los matemáticos están empezando a cambiar debido a las múltiples posibilidades de experimentación y modelización de estructuras complejas que el ordenador, y sobre todo el microordenador, más flexible y autónomo, ofrece. Éste ha resultado ser un magnífico instrumento para estudiar formas de complejidad que hasta ahora resultaban inabordables. Las modernas teorías alrededor del caos matemático, que algunos señalan como una verdadera revolución científica, provocando cambios profundos en los esquemas de pensamiento hasta ahora aceptados, serian impensables sin la presencia eficaz del ordenador, con su capacidad de cálculo rápido, de compresión del tiempo, de modelización fiel, de representación gráfica… Se puede pensar con razón, que las transformaciones que el ordenador ha traído consigo en la matemática y en todas las ciencias no constituyen sino el comienzo de una nueva etapa.
