Grandes capítulos clásicos de la matemática

Al explorar el sentido de la actividad matemática y al examinar el misterio de su aplicabilidad, hemos tenido ocasión de detectar varias fases del proceso de construcción de la matemática: observación de la realidad tanto externa, el mundo a nuestro alrededor, como interna, la de nuestro mundo mental, abstracción, teorización, descenso a la realidad. La presencia de la realidad en el universo matemático es poderosamente influyente. Por eso no tiene mucho sentido, tal vez hoy día menos que nunca, el encasillamiento tradicional de los matemáticos, en puros y aplicados, siendo puros aquellos que se preocupan por el estudio y desarrollo de las estructuras matemáticas por s mismas, y aplicados quienes se enfrentan con las realidades de la naturaleza a través de las herramientas de la matemática que puedan ayudar a conocerlas y explorarlas más eficazmente. Los matemáticos más eminentes de los tiempo pasados y de los actuales, Arquímedes, Newton, Gauss, Poincaré, Hilbert, von Neumann, Weyl,… han desarrollado ambos aspectos de la matemática y es claro que una sana evolución de ella no puede obtenerse sino mediante una interacción de estos dos tipos de actividad.

A continuación examinaremos brevemente unos cuantos de los capítulos más importantes de la Matemática Fundamental. Más adelante tendremos ocasión de examinar algunos de los desarrollos más influyentes hoy día relacionadas con la Matemática de las Aplicaciones.

Las tres secciones clásicas de las matemáticas son el álgebra, el análisis y la geometría. Pero es necesario hacerse consciente de que la

división es un tanto artificial y de que la matemática contemporánea

constituye una unidad orgánica en la que la interdependencia entre sus diversos campos es tal vez una de sus características más llamativas.

Algebra

El álgebra clásica tiene que ver con la solución de las ecuaciones familiares de primero, segundo, tercer grado, etc., y en este sentido el álgebra tiene ya más de 4000 años de antigüedad. El florecimiento del álgebra moderna es cosa de los últimos años. El álgebra moderna estudia las «estructuras algebraicas», que vienen a ser sistemas de elementos con operaciones semejantes a las que se pueden realizar con los números enteros, racionales, reales… El estudió abstracto de tales estructuras representa una enorme economía de pensamiento, ya que aparecen repetidas muchas veces en muy diversas áreas de forma natural. Los teoremas demostrados sobre la estructura abstracta son así inmediatamente aplicables.

Por otra parte, tal estudio pone de manifiesto la unidad profunda de los diversos campos de la matemática. Las estructuras más importantes y básicas estudiadas son los grupos, cuerpos, anillos, espacios vectoriales.

La importancia, por ejemplo, de la teoría de grupos en matemáticas y sus aplicaciones es inmensa y su aparición en muchos campos es probablemente debida a que los grupos describen matemáticamente las simetrías existentes en multitud de estructuras naturales, científicas, tecnológicas e incluso artísticas. La teoría de grupos ha sido utilizada con gran eficacia en cristalografía, espectroscopía, teoría de iones orgánicos complejos, mecánica cuántica, y se espera que sus resultados aclaren muchos problemas oscuros en la frontera de la física actual.

Geometria

La geometría ha sido a lo largo de la historia de la matemática la matriz en la que se han gestado los más profundos desarrollos de esta ciencia. La idea de sistema axiomático, pilar fundamental de la matemática, aparece bien perfilada en la fundamentación geométrico de los Elementos de Euclides. La idea profunda de Descartes de enlazar los desarrollos algebraicos y geométricos posibilitó el desenvolvimiento del cálculo infinitesimal. Las geometrías no euclídeas del siglo XIX condujeron a una verdadera revolución en la fundamentación de las matemáticas. Se puede afinnar que casi la totalidad de las matemáticas de ayer y de hoy se encuentran invadidas por el sentido geométrico. Asi, la topología, las ecuaciones diferenciales, el análisis funcional, la teoría de variable compleja… Y no podía ser de otra manera, dado el carácter eminentemente visual y espacial de una gran porción de nuestra intelección matemática y dada nuestra tendencia manifiesta a aclarar nuestras ideas más abstractas de una forma intuitiva y gráfica. Este sentido geométrico se encuentra cultivado hoy día de modos concretos muy diversos.

La geometría algebraica se preocupa de la interpretación geométrico de sistemas de ecuaciones algebraicas. La geometría diferencial representa la conjunción del cálculo con la geometría. La topología conjuntista se originó en gran parte por la necesidad de sistematizar la aparición de conjuntos extraños a fines del siglo XIX y comienzos del XX en ciertas zonas fronterizas del análisis, geometría analítica y teoría de conjuntos.

La topología algebraica estudia con métodos algebraicos las propiedades de figuras geométricas que no varían por deformaciones continuas. La topología diferencial estudia las figuras geométricas, describiéndolas al modo como un atlas describe la superficie terrestre mediante una colección de mapas parciales de cada una de sus partes.

Existen también otras formas de geometría, tales como la geometría de cuerpos convexos, la teoría de grafos, etc…. que han recibido un impulso especial debido al gran número de aplicaciones que de ellas derivan.

Análisis

La más reciente de las tres grandes ramas clásicas, el análisis matemático, es hija directa del cálculo, la gran invención que

encontró una forma manejable en el siglo XVII, gracias sobre todo a los esfuerzos de Newton y Leibniz, y que constituyó una herramienta indispensable para la física moderna.

La filosofía subyacente al cálculo se puede entender del modo que sigue. Deseamos estudiar cómo se desarrolla un proceso complicado que aparece en la naturaleza, en una máquina, en una estructura económica o social, o tal vez en un mundo matemático ideal. Analizamos primero lo que ocurre «localmente», es decir, en una porción reducida, para un cambio pequeño de tal o cual variable del fenómeno. Al proceder así tal vez podamos aplicar algún principio característico del proceso (el cambio de esta variable es proporcional al de esta otra, por ejemplo), que nos permita establecer una formulación matemática del modo en que se relacionan las diferencias variables del proceso. Tal formulación aparece a menudo en forma de una ecuación diferencial. Su resolución permite conocer cómo se comporta el fenómeno, no ya «localmente», sino «globalmente». El campo actual de las ecuaciones diferenciales es amplísimo y de los más activos en el presente, sobre todo estimulado por el interés actual en los problemas no lineales que abren todo un mundo nuevo a la investigación.

La teoría de funciones de variable compleja constituye otro de los campos importantes del análisis actual. Se centra en el estudio de las funciones analíticas, de las funciones que, como la exponencial, el seno, el coseno, son representables mediante una serie de potencias. Su aplicabilidad en campos tan diversos como la teoría de numeros, dinámica de fluidos, ingeniería eléctrica, física de altas energías, constituye una inagotable fuente de asombro.

El análisis armónico comenzó con el estudio matemático de la cuerda vibrante. D. Bemoulli, en el siglo XVIII, lo abordó tratando de representar el movimiento de una cuerda que vibra como una superposición de movimientos armónicos fundamentales, es decir, de movimientos representables por funciones trigonométricas, sen(kx), cos(kx). Fourier, en el siglo XIX, estudió la ecuación diferencial que rige la conducción del calor mediante el mismo método. Este modo de representación de funciones, así como los métodos que su desarrollo ha mostrado, constituye una de las herramientas más poderosas, en la práctica y en la teoría, para el estudio de las ecuaciones diferenciales.

El análisis funcionales otra de las áreas mas recientes del análisis matemático. Considera las funciones como elementos, como puntos, de un espacio, introduce, guiándose en las correspondientes ideas del espacio tridimensional, las nociones de distancia entre dos funciones, ángulo, subespacio lineal,… El estudio de la estructura así creada resulta extraordinariamente fecunda para la resolución de muchos problemas complejos de ecuaciones diferenciales, mecánica cuántica, etc…