LA GEOMETRÍA DE LOS PITAGÓRICOS.
La principal fuente de nuestro conocimiento sobre la geometría de los pitagóricos se encuentra en el comentario de Proclo a los Elementos de Euclides. Proclo escribe en Alejandría, muy alejado de Pitágoras en el tiempo, pues vivió del 410 al 485 d. de C., pero es seguro que tuvo ante sus ojos la Historia de la Geometría que Eudemo, un discípulo de Aristóteles, escribió hacia el año 320 a. de C. Al comienzo de su comentario a los Elementos Proclo transmite un resumen de lo que fue la historia de Eudemo. Otra fuente de considerable importancia es el mismo libro de los Elementos de Euclides. Señalaré a continuación algunas de las porciones de los elementos que parecen provenir de fuentes pitagóricas, a juzgar por diversos testimonios y por razones lógicas internas.
LA YUSTAPOSICIÓN DE SUPERFICIES
a un segmento dado, según un ángulo dado, un paralelogramo que sea igual (en área) a un triángulo dado».En su comentario a este ejercicio escribe Proclo:»Estas cosas son antiguas, como afirman los que siguen a Eudemo, y son invenciones de los pitagóricos, a saber la yuxtaposición (parabolé) de superficies, su exceso (hyperbolé) y su defecto (elleipsis).De ellas tomaron los más recientes los nombres y los aplicaron a las llamadas secciones del cono y las denominaron a una parábola, a la ota hipérbola y a la tercera elipse, mientras que aquellos antiguos y divinos hmbres (los pitagóricos) dieron significado a estos nombres fundamentándose en la construcción de superficies planas sobre un segmento».Los problemas de yuxtaposición de superficies se pueden proponer e forma más sencilla, como lo hicieron los pitagóricos, omitiendo la referencia a paralelogramos, del siguiente modo:
Como se ve, la solución de estos problemas equivale a la de una ecuación de segundo grado. Los problemas son extraordinariamente importantes y así Euclides los trata en tres ocasiones diferentes.La solución de los griegos procede como lo haríamos nosotros mismos, sólo que todo viene fraseado geométricamente. Si queremos resolver xy=S, x-y=a, lo reducimos a y(y+a)= S, que se puede poner, completando el cuadrado y^2+ay +(a/2)^2= S+ +(a/2)^2, es decir (y+a/2)^2 = S + (a/2)^2. Se trata ahora de construir un cuadrado de área igual a la de S+(a/2)^2 y así se obtiene y+a/2 y por tanto y. Todas estas operaciones algebraicas son las que aparecen con lenguaje puramente geométrico en la solución de Euclides.
Si, como opina van der Waerden y otros muchos, es cierto lo que Proclo afirma sobre el origen pitagórico de estos problemas y sus soluciones, se puede pensar que los pitagóricos, probablemente ya los pitagóricos anónimos de la tercera generación, si no antes, tuvieron conocimiento de una parte bien substanciosa de los Elementos, en particular, por lo que de aquí se desprende, de I-45, I-47, II-5, II-6, II-14, que contienen las herramientas para las soluciones de los problemas de yuxtaposición de superficies.
El libro IV de los Elementos enseña cómo inscribir en un círculo un triángulo equilátero, un cuadrado, un pentágono, un hexágono y un pentadecágono. Existen varios escolios es decir, notas marginales que se encuentran en diversos manuscritos, que atribuyen los teoremas de este libro IV a los pitagóricos. Según W. Burkert en su obra Weisheit und Wissenschaft (p. 426), estos escolios proceden de Eudemo.
Los teoremas que aparecen en el libro IV se presentan en un estilo unitario a excepción del que se refiere a la construcción del pentadecágono. Proclo explica que la intención de Euclides al introducir el pentadecágono en este contexto estaba motivada en las necesidades de los astrónomos.
Hacia 440 a. de C. Oinópides de Quios había determinado en 24º la inclinación de la eclíptica. Este ángulo es precisamente 360º/15 y así coincide con el ángulo correspondiente al lado del pentadecágono desde su centro. Según parece por todos los indicios, los pitagóricos antiguos supieron cómo construir polígonos regulares. Así, con todos estros datos, se puede pensar co van der Waerden y otros, que el libro IV, a excepción del último problema, sobre el pentadecágono, constituía una unidad de enseñanza mucho antes de que Euclides la incorporara a su obra, incluso se puede conjeturar que sea anterior al 440 a. de C.
De todas las construcciones del libro IV la más interesante es la que se refiere al pentágono regular (IV, 10-11). esta construcción se apoya de modo decisivo en la observación de que cada diagonal corta a otra en dos segmentos en proporción áurea, o bien en lo que Euclides llama «media y extrema razón». Los pitagóricos tenían especiales razones como hemos visto, para ocuparse intensamente del pentágono regular. La estrella formada por las diagonales, el pentagrama, era su símbolo de reconocimiento y de deseo de salud. Parece natural pensar en un intenso interés por construir exactamente tal figura y por entenderla racionalmente a fondo. Como hemos visto antes al tratar de Hipaso, el dodecaedro regular, y por tanto el pentágono regular, entrañaban para los pitagóricos hechos muy fundamentales. En este contexto pienso que se debe hacer notar que las consideraciones sobre la inconmensurabilidad de la diagonal con el lado que antes hicimos son independientes de la posibilidad de construcción efectiva del pentágono regular. No es necesario pensar que Hipaso supiera construir el pentágono regular al modo de Euclides, aunque tampoco hay motivos para pensar que efectivamente nolo supo.
Por otra parte, la construcción de la «media y extrema razón» que en Euclides aparece en II, 11, no requiere otra cosa que la solución de un problema de yuxtaposición de superficies, que los pitagóricos antiguos, según hemos visto, dominaban totalmente. Así teniendo en cuenta estas conexiones lógicas, se puede concluir que los pitagóricos conocieron la construcción de la razón áurea que se propone en los Elementos II, 11.
Guiados por los testimonios históricos, por argumentos de tipo lógico como los aducidos y por otros derivados del estilo de presentación y de congruencia interna, tanto van der
Waerden como otros historiadores llegan a la conclusión de que los
libros II y IV de los Elementos proceden completa o casi completamentede los pitagóricos.
Del libro III, relativo a cuerdas y tangentes en el círculo y de ángulos en el círculo, Neuenschwander ha mostrado que una gran parte era conocida de los pitagóricos antiguos y de Hipócrates de Quíos. El libro I de los Elementos tiene un carácter mucho menos transparente. Se puede aventurar que tal vez los pitagóricos hayan formulado una axiomática incipiente, pues los axiomas 1,2,3,7,8 son citados verbalmente (estilo pitagórico) en los libros II y IV, de procedencia más claramente pitagórica.
La proposición I, 29 sobre la igualdad de los ángulos determinados por paralelas era conocida de los pitagóricos que demostraron mediante ella que la suma de los ángulos de un triángulo mide dos
rectos. Conocieron también I,47(el «teorema de Pitágoras»), pero la demostración que poseían era a través de la teoría de proporciones, que Euclides evita en este libro.
Para acabar con los puntos más sobresalientes de la geometría de los pitagóricos se puede decir que, de acuerdo con un escolio al libro XIII de los Elementos, los pitagóricos conocieron de los cuerpos regulares, el cubo, el tetraedro y el dodecaedro. Según el mismo escolio, que parece muy verosímil, el octaedro y el icosaedro parecen haber sido estudiados por vez primera por Teeteto, en la primera mitad del siglo IV a. de C.
