La matemática de las aplicaciones
Especiahnente desde los tiempos de Galileo, siglo XVI, la evolución de la matemática ha estado íntimamente ligada con el estudio de aquellos fenómenos del mundo físico en los que el hombre ha estado interesado. Por una parte, este interés ha estimulado fuertemente el desarrollo de ciertas ramas de la matemática. Por otro, la existencia y disponibilidad de ciertas herramientas matemáticas ha sido en ocasiones la condición de la posibilidad de que el hombre se hiciese tales o cuales preguntas. Esta interacción profunda pone de manifiesto que ni en el pasado, ni en la actualidad, la matemática evoluciona independientemente del resto del pensamiento colectivo del hombre.
La que hemos llamado matemática fundamental está fuertemente condicionada en su desarrollo por los problemas internos propios de cada campo, pero no deja de experimentar, especialmente en los puntos de cambio de rumbo de su trayectoria, la robusta influencia que ha ejercido sobre ella la posibilidad, siempre presente, de su utilización para la exploración de nuevos fenómenos. A continuación citaremos, a modo de ejemplo, unos cuantos campos en los que esta interacción es más fuerte y patente.
La física
En sentido amplio, ha sido y sigue siendo el campo de las aplicaciones en que este influjo mutuo alcanza su mayor amplitud y profundidad. A través de la física, fluyen innumerables aplicaciones de la matemática hacia los más diversos campos de la tecnología actual. Tal vez una de las caractenrsticas más importantes de nuestros días en este aspecto consista en que los avances del análisis matemático, reforzados con la presencia del ordenador, han comenzado a hacer posible el estudio de fenómenos naturales que no son lineales y que en tiempos pasados, o bien no pudieron ser tratados en absoluto por su complejidad, o bien fueron atacados en una primera aproximación como si fueran lineales, por la carencia de herramientas suficientemente poderosas para hacer frente al fenómeno en toda su complejidad. Aquí, en concreto, se encuentra una de las fuentes de exploración del caos matemático, un campo de estudio enormemente amplio, que abarca muchos fenómenos de ciencias tan diferentes como la biología, mecánica de fluidos, meteorología, magnetismo,… y que ha comenzado hace menos de 35 años.
La estadística
Es otro de los desarrollos matemáticos con más impacto en nuestra cultura. La teoría de la probabilidad y su aplicación a los fenómenos aleatorios ha conseguido crear una matemática que en cierto modo logra dominar y manejar con acierto la incertidumbre misma.
Lo que originariamente aparece caótico, regido por el azar y opaco a la intelección, es ordenado por la estadística y sometido finalmente a leyes aleatorias que arrojan sobre los fenómenos una luz tan intensa como la que las leyes deterininisticas de la física matemática irradian sobre los objetos a los que se aplican. Un enorme número de ciencias y técnicas se han beneficiado de esta iluminación y dominio de la incertidumbre que la estadística proporciona. Entre ellas, la biología, la medicina, las ciencias económicas, la investigación sobre la producción industrial y sobre mercados, la psicología, la antropología, la linguistica,…
Optimización
En las complejas realidades que muchas de las ciencias y técnicas modernas pretenden considerar desde el punto de vista matemático, existen unos cuantos elementos comunes que van agrupándose de modo natural para formar un todo coherente que no ha alcanzado aún una plena sistematización. Se suele conocer con el nombre genérico de optimización, ya que la intención común suele ser el estudio de la mejor forma de realizar un determinado proceso o tarea. Engloba un conjunto abigarrado de técnicas y problemas relativamente recientes, tales como la teoría de sistemas, la programación lineal, la teoría de grafos, la planificación y secuenciación de tareas, la programación dinámica, los problemas de distribución, el control óptimo de sistemas El desarrollo de todos estos temas ha sido profundamente influenciado por la aparición del ordenador.
La informática
En buena parte es una disciplina matemática. Es uno de los campos que van modificando profundamente el modo de afrontar los problemas científicos, incluso matemáticos, y también nuestro propio modo de vida. Desde que en 1950 comenzaron a comercializarse los primeros computadores de gran velocidad, los progresos han sido continuos en todos los aspectos deseables, velocidad, memoria, versatilidad, manejabilidad, miniaturización… La revolución que se está originando en nuestra forma de vida por el desarrollo de los ordenadores apenas ha comenzado. Sólo en lo que se refiere a rapidez, los modernos computadores han multiplicado por un factor mayor que 10000000 la velocidad de cálculo del hombre. Es claro que pasarán muchos años antes de que aprendamos a sacar pleno partido incluso de las habilidades de nuestros actuales ordenadores. Su influjo, sin embargo comienza a sentirse fuertemente en muchas áreas de nuestro entorno más inmediato, proceso de datos en nuestros bancos, planificación de nuestras empresas, robotización de nuestras fábricas, ordenación de la información contenida en nuestras bibliotecas, educación programada…En el desarrollo científico, el influjo de los ordenadores es inmenso y la mayor parte de las ciencias están aún muy lejos de saber aprovechar lo que el ordenador actual puede hacer por ellas.
En las aplicaciones de la matemática el influjo del ordenador ha sido inmenso, sobre todo a través de su capacidad de resolución numérica de problemas extraordinariamente complicados, cuya solución hubiera resultado irrealizable hace unos pocos años. Durante un viaje espacial, por ejemplo, es necesario resolver de modo automático en tiempo real, con gran precisión, sistemas de muchas ecuaciones diferenciales no lineales. Pero posiblemente, como el futuro demostrará, esta facilidad de cálculo es el aspecto más superficial de la capacidad del ordenador. La versatilidad y complejidad del ordenador puede constituirle en una pieza clave para la realización analógica de experimentos (los Gedankenexperimente pasan así a ser verdaderos experimentos de computador) en prácticamente todas las ciencias, desde las matemática hasta las sociales, con un coste y esfuerzo mínimos.
En la matemática fundamental el influjo del ordenador comienza a hacerse manifiesto. En la teoría de números se ha utilizado, desde hace tiempo, para reforzar o desechar la plausibilidad de ciertas conjeturas, como la de Riemann. Pero su impacto más notable en años recientes ha tenido lugar en la demostración de teoremas como el de los cuatro colores. Una demostración que no puede hacerse vivencia en el mecanismo raciocinante del hombre, por razón de la lentitud de éste, ha sido construida mediante el concurso
del ordenador. Con ello se ha obtenido lo que muchos piensa que es una categoría diferente de teorema. ¿Cuántos problemas matemáticos hoy aún abiertos, nos podemos preguntar, esperan tal vez una solución semejante, con la asistencia esencial del ordenador?
Se presiente que el influjo de la computarización general de una porción de nuestra cultura originará probablemente una inclinación de la matemática futura hacia el desarrollo de lo que a veces se llama matemática finita, o discreta, que pone el énfasis en el descubrimiento de algoritmos efectivos para resolver problemas de todo tipo. La infiltración del computador en terrenos tales como el análisis matemático y otros campos tradicionales más abstractos es aún relativamente incipiente, pero se llegará a hacer sentir en un futuro más bien cercano.
La ciencia de la computación constituye, al menos parcialmente, una ciencia matemática. Como tal subraya los aspectos algorítmicos, constructivos, y sus problemas están en intima conexión con los de la lógica matemática, combinatoria, análisis numérico… Pero es claro que la ciencia de la computaciorn presenta aspectos que han de ser tratados en cooperación estrecha con la ingeniería electrónica, la lingúistica, el análisis del conocimiento, etc….
