En tiempos de Platón y Aristoteles (siglo IV a. de C.), y en virtud sobre todo de los esfuerzos de los pitagóricos anteriores, el cuerpo de doctrina de las ciencias exactas ya estaba plenamente codificado. Las ciencias estaban constituídas por los cuatro mathemata.Mathema es etimológicamente «lo que se aprende».
Los cuatro mathemata, aritmética, geometría, astronomía y música constituían, por lo tanto, el saber por antonomasia. Así se expresa Aristóteles en uno de los fragmentos conservados, sobre la relación de los pitagóricos con las ciencia exactas (Metafísica 985 b), del que señalaré los párrafos más clarificadores:
» En este tiempo (de Leucipo y Demócrito, segunda mitad del siglo IV a. de C.) y ya antes se ocuparon los llamados pitagóricos de las ciencias matemáticas (ta mathemata). Ellos fueron los primeros que cultivaron estas ciencias y, al introducirse en ellas, llegaron a la opinión de que los principios de estas ciencias son los principios de todas las cosas. Y como los números son por naturaleza los primeros de entre estos principios y como pensaban ver en los números muchas semejanzas con lo que es y lo que ocurre, más bien que en el fuego, tierra y agua, opinaron que una cierta cualidad de los números era la justicia, otra el alma y la razón, otra la ocasión adecuada, etc. Y como también veían que las propiedades y relaciones de la armonía musical están determinadas por los números y que todas las cosas están también conformadas según los números y que los números son lo primero en toda la naturaleza, pensaron que los elementos de los números son los elementos de todas las cosas y que el cielo entero es armonía y número».
Aunque Aristóteles no enumera explícitamente cuáles son en concreto las ciencias matemáticas, el uso común de su tiempo, como se puede ver también en Platón, consideraba bajo el término mathemata la aritmética, geometría, astronomía y música, si bien en las palabras de Aristóteles citadas no aparece la geometría de modo tan explícito como las otras ciencias. Leyendo el relato completo de Aristóteles se llega a la conclusión de que para él hay un diferencia fuerte entre los pitagóricos más antiguos (los del tiempo de Leucipo y Demócrito y anteriores, es decir, los de los dos primeros tercios del siglo V) y los más recientes, a los que alude hablando en presente (probablemente Filolao y sus discúpulos, última parte del siglo V y posteriores). De aquéllos se expresa con sumo respeto, como de los fundadores de las ciencias exactas. Los últimos son criticados por introducir novedades mal justificadas.
En lo que sigue trataré de exponer brevemente algunos de los puntos más importante de las enseñanzas de los pitagóricos en Geometría, Aritmética y Música. La Astronomía de los pitagóricos será tratada en otra exposición de esta serie, por el profesor J.M. Torroja, dedicada a la astronomía de los griegos. En mi exposición utilzaré como guía fundamental la obra ya citada de van der Waerden, Die Pythagoreer.
