46.8) 11 de marzo de 2026
Del barco pirata de Apolonio al misil antiaéreo de las
guerras contemporáneas: más de 2000 años de curvas
de persecución.
Ildefonso Díaz-Díaz (Universidad Complutense de Madrid)
Video completo de la conferencia:
Excelente octava conferencia de este curso, introducida por el Prof. Marco Castrillón López, nuevo decano de Ciencias Matemáticas y nuestra coordinadora del SHM MM: Prof. Mariemi Alonso.
El ponente es conocido del SHMMM: Prof. Ildefonso Díaz-Díaz — Catedrático emérito, UCM y Presidente Sección Matemáticas, Real Academia de Ciencias.
La interesante conferencia es esencialmente una conferencia de divulgación de ecuaciones diferenciales no lineales, usando las curvas de persecución como excusa narrativa. El ponente parte de su primer artículo como matemático «independiente» (1976, sobre anulación de soluciones parabólicas no lineales) y traza 2000 años de historia mostrando cómo un mismo problema matemático reaparece continuamente.
Apolonio de Perga y el barco pirata (s. III a.C.)
Apolonio define la circunferencia no solo como lugar equidistante a un centro, sino como el conjunto de puntos de encuentro entre un barco pirata (más rápido) y un barco mercante (más lento), cuando ambos viajan en línea recta. Es una definición no estándar equivalente al círculo de Apolonio.
La demostración usa únicamente el teorema de la bisectriz.
Antecedente aún más antiguo: la paradoja de Aquiles y la tortuga (Zenón, s. V a.C.), una primera formulación implícita de la suma de una serie.
La tractriz (curva de arrastre)
Problema propuesto por el arquitecto parisino Claude Perrault (s. XVII), estudiado por Newton y Huygens; este último le da el nombre tractriz.
Se modela como el arrastre de un reloj de cadena a lo largo de una línea recta, generando una ecuación diferencial autónoma no lineal de variables separables.
La solución requiere funciones hiperbólicas (introducidas por Riccati y Lambert), lo que explica por qué Leibniz no la resolvió completamente.
Curiosidades y aplicaciones de la tractriz:
Su evoluta es la catenaria (curva de la cadena colgante).
Al girarla en torno a su asíntota genera la pseudoesfera (Beltrami, 1868): superficie de curvatura gaussiana constante negativa, modelo de la geometría hiperbólica y usada en relatividad general.
La forma de la trompeta (y en general los instrumentos de viento) se diseña con perfil de tractriz porque produce ondas esféricas, que se reflejan más uniformemente en salas de concierto. Lo formalizó Helmholtz en 1863.
Mención al Premio de la Real Academia de Ciencias de España de 1897 sobre catálogos de curvas, ganado ex aequo por el portugués Gomes Teixeira y el italiano Gino Loria, ambos presentando sus memorias en castellano según las bases del concurso.
Curvas de persecución: formulación matemática
Sistematizadas por Pierre Bouguer (1732) y el nombre acuñado por George Boole en su tratado de ecuaciones diferenciales.
Hipótesis del modelo: el persecutor orienta su vector velocidad siempre hacia el objetivo y su rapidez es constante y mayor que la del objetivo.
Se llega a un sistema de EDOs no lineales acopladas con singularidad en el punto de encuentro.
Si el módulo de la velocidad del objetivo es estrictamente menor que el del persecutor (condición suficiente y «casi necesaria»), la captura se produce en tiempo finito, independientemente de la trayectoria del fugitivo.
Se puede reinterpretar con herramientas modernas: operadores maximal monótonos (Brézis), algoritmo implícito de Euler convergente.
Aplicaciones contemporáneas
| Contexto | Conexión matemática |
|---|---|
| Misiles Patriot (guerras del Golfo, Ucrania, Gaza) | Curvas de persecución deterministas |
| Drones de bajo coste (alternativa al Patriot) | Optimización del tiempo de captura |
| Persecución con retardo (velocidad de la luz finita) | EDOs con retardo; relevante en persecución espacial |
| Modificación de trayectoria del asteroide Dimorphos (NASA, sept. 2022) | Adaptación de la teoría determinista sin retardo |
| Juegos diferenciales de Rufus Isaacs (1965) | Ambos agentes controlan su trayectoria; equilibrio de Nash |
Teoría de juegos diferenciales
- Extensión donde tanto persecutor como evasor optimizan libremente su trayectoria (minimax sobre el tiempo de captura → equilibrio de Nash punto-silla).
- Generalización a superficies esféricas: el dominio generalizado de Apolonio en coordenadas de longitud/latitud (Milutinovic et al., fuerzas armadas EE.UU.).
- Las ecuaciones de optimización resultan ser de tipo Hamilton–Jacobi–Isaacs, completamente no lineales; se resuelven con la noción de soluciones de viscosidad (Crandall & Pierre-Louis Lions, Medalla Fields).
- Anécdota: el ponente estuvo sentado junto a John Nash en la UCM (2008, congreso mundial de psiquiatría).
Finaliza esta divertida conferencia con:
«El mundo está escrito en lenguaje matemático» (Galileo). La tractriz, diseñada para describir el arrastre de un reloj, es la misma curva que da forma óptima a las trompetas; el círculo de Apolonio, definido para perseguir piratas hace 23 siglos, rige hoy la captura de misiles sobre superficies esféricas. La división entre matemática pura y aplicada no existe: si la matemática es buena, tarde o temprano encuentra su aplicación.
Entrada por Arturo Sáenz García
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