PIMCD-200

Materiales realizados por el proyecto «Uso y evaluación de herramientas de software libre para la enseñanza y la investigación en Matemáticas», Proyecto de Innovación y Mejora de la Calidad Docente (PIMCD-200).

 

Se puede encontrar, para cada uno de los problemas enunciados, una solución gráfica o una serie de sugerencias de cómo llegar a ella.

 

INDICE

APPLET ENUNCIADOS
 DEMOSTRACIONES
APPLET Demuestra que la suma de los ángulos de un triángulo es 180° (o Π radianes).
APPLET Comprueba que la mediatriz de un segmento es una recta perpendicular al segmento, que pasa por su punto medio.
APPLET Demuestra que en un rombo las dos diagonales son perpendiculares.
APPLET Si K es una circunferencia, P es un punto exterior a ella y r y r’ son las tangentes a K trazadas desde P, se consideran los puntos de tangencia, A y A’. Demuestra que PA=PA’.
APPLET Sean A,B,C,D cuatro puntos distintos (y ordenados) en una circunferencia de radio O. Prueba que 2<ABC=<AOC. Relaciona el ángulo <ADC con el ángulo <ABC.
APPLET Demuestra que las mediatrices de los lados de un triángulo concurren en un punto.
APPLET Demuestra que las bisectrices de los ángulos de un triángulo también concurren en un punto.
APPLET Justifica las desigualdades existentes entre distintas medias aritmética, geométrica y armónica.
APPLET En la semicircunferencia de diámetro AB, tomamos un punto E distinto de los extremos A y B. Trazamos las rectas r y s, tangentes a la semicircunferencia en los puntos E y B, respectivemente; las tangentes se cortan en el punto C. Si D es el punto de corte de las rectas AE y s, prueba que BC=CD.
 CÁLCULO
APPLET Representa la función f(x) dada por 1/(x-1) para x<0 y  por x2+bx+a, para el resto. Estudia su continuidad y derivabilidad, según los valores de a y b
APPLET Representa la gráfica del polinomio P(x)=ax3+bx+c, para distintos valores de los parámetros.
APPLET La función f genera una familia de funciones que, a su vez, dependen de dos parámetros, a y b. Analiza cómo afectan estos a las gráficas correspondientes.
 VISUALIZACIÓN
APPLET Sea f una función continua. Comprueba, utilizando la gráfica, qué sucede con las integrales de las traslaciones propuestas.
APPLET Sea z (complejo) un punto de la circunferencia de centro 1 y radio 1. Demuestra que los puntos 1, z y 1+z² están alineados.
 ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA
APPLET Sean A y B puntos distintos del plano. Decide cuál es el lugar geométrico de los puntos X del plano tales que AX y BX son perpendiculares.
APPLET Se consideran en el plano los puntos A=(-3, 2) y B=(5, 4). Se pide  localizar distintos puntos del plano relacionados con ellos.
APPLET Encuentra el punto P de la recta r que hace mínima la suma d(A, P) + d(P, B).
APPLET Construye un cuadrado cuya área sea la suma (diferencia) de las áreas de dos cuadrados dados.
APPLET Dados dos círculos, construye otro cuya área sea la suma (diferencia) de las de ambos.
APPLET El lado de un cuadrado ABCD es 3cm. El vértice P del cuadrado PQRS, de lado 4cm, es el centro de ABCD. Determina el área común a ambos cuadrados.
APPLET Desde el punto A, se trazan las tangentes a una circunferencia (que cortan a ésta en X e Y). Si AX = 10, P es un punto arbitrario de la circunferencia y BC es tangente en P, determina el perímetro del triángulo ABC.
APPLET a) Prueba que en un triángulo cualquiera, las tres alturas concurren. (Sugerencia: considera el triángulo que se obtiene al trazar por cada vértice una recta paralela al lado opuesto). b) Demuestra que las tres medianas de un triángulo concurren.
APPLET Sea P un punto del lado desigual de un triángulo isósceles. Demuestra que la suma de distancias de P a los otros dos lados es una cantidad que no depende de P.
APPLET Para cada punto P de la hipérbola xy=a² se considera el triángulo que tiene por lados a los ejes de coordenadas y a la tangente en P a la hipérbola. Demuestra que el área de dicho triángulo es independiente del punto P escogido.

 

GEOMETRÍA
Enunciados