CURVAS ELÍPTICAS Y FACTORIZACIÓN DE ENTEROS 

Jorge Jiménez Urroz (Universidad Politécnica de Madrid)

FECHAS:  10,12,15,17,19 de Junio

HORARIO: de 11 a 13:30h

LUGAR:  Seminario 238.

Nº DE HORAS: 12

RESUMEN: El interés por las curvas elípticas en Teoría de Números es enorme. Esto se debe a varios factores: su uso en la prueba del último teorema de Fermat, la conjetura de Birch y Swinnerton dyer, valorada en 1 millón de dólares por la fundación Clay, y recientemente por su extendido uso en Criptografía. Este curso es una introducción a la Aritmética de curvas elípticas, cubriendo las partes fundamentales para poder adentrarse después en los diferentes problemas en los que aparecen. Como ejemplo veremos una aplicación de su uso para la factorización de enteros.

Aprenderemos la estructura de grupo de una curva elíptica definida sobre cualquier cuerpo K, y más concretamente sobre un cuerpo finito. Veremos el anillo de Endomorfismos sobre Fp, el número de puntos Fp racionales, teorema de Hasse, y el algoritmo de Schoof para contar puntos sobre Fp y veremos que este algoritmo es polinómico en el tamaño del cuerpo. Como contraparte probaremos que si definimos la curva sobre el anillo Z/nZ, donde n es un producto de dos primos, entonces no existe ningún algoritmo polinómico para contar puntos. De hecho, probaremos la equivalencia entre factorizar números enteros y contar puntos de curvas elípticas sobre Z/nZ.

REQUISITOS: Es necesario haber estudiado nociones de aritmética elemental y estructuras algebraicas, y en especial cuerpos finitos. Algún conocimiento básico sobre la complejidad de un algoritmo ayudará a seguir la última parte del curso.

BIBLIOGRAFÍA

1. L. C. Washington, Elliptic Curves, Number Theory and Cryptography, Chapman and Hall, 2008, isbn: 978-1-4200-7146-7

2. R. Schoof, Elliptic Curves Over Finite Fields and the Computation of Square Roots mod p, Mathematics of Computation , Apr., 1985, Vol. 44, No. 170 (Apr., 1985), pp. 483- 494

3. L. Dieulefait, J. Urroz, Factorization and Malleability of RSA Moduli, and Counting Points on Elliptic Curves Modulo N, Mathematics 2020, 8, 2126.

IMPORTANTE: En el caso de que estés interesado en asistir te inscribas antes del próximo viernes 29 de mayo, a través de este formulario.