Desde hace muchos años viene siendo una de mis grandes satisfacciones estar en contacto con los más jóvenes, directamente o bien mediante obras escritas, para tratar de despertar y encaminar su posible entusiasmo por la matemática compartiendo con ellos el que yo siento. Esto me ha llevado a examinar muchos aspectos del aprendizaje de la matemática, en algunos casos de gran amplitud y en otros sobre temas muy específicos. Los artículos que en este bloque se han reunido son una muestra de este interés.
Sobre la educación matemática
Una de las primeras ocasiones en las tuve la oportunidad de presentar mis reflexiones sobre el aprendizaje y la enseñanza de la matemática ante un público general fue en este artículo publicado en la Revista de Occidente en 1983.
Creo que algo contribuyó a que en nuestro país se empezara a cambiar una situación un tanto anquilosada. Pienso que la situación ha mejorado en algunos aspectos, pero todavía es cierto que el aprendizaje de la matemática en nuestro país no transcurre por los cauces más adecuados, como vengo a exponer en otras reflexiones más recientes.
Indice
Crónica de una olimpíada
Polivalencia de la matemática
Vaivenes de la pedagogia matemática
El formalismo matemático y sus consecuencias
Algunos defectos de nuestra enseñanza actual
Posibles medidas hacia una mejora
Tendencias innovadoras en educación matemática
En los años 1990 la OEI (Organización de Estados Iberoamericanos) que gestionaba el programa IBERCIMA, para la mejora de la educación en los países iberoamericanos de la educación en ciencias y matemáticas, me invitó a presentar para diversas reuniones y para una publicación mis consideraciones sobre la educación matemática en aquellos momentos. El resultado fue este largo artículo que fue publicado en 1994 conjuntamente con otro de Daniel Gil Pérez sobre la enseñanza de las ciencias. Su largo índice puede proporcionar una guía de lectura adecuada.
Introducción
1. ¿Por qué la enseñanza de la matemática es tarea difícil?
2. Situación actual de cambio en la didáctica de las matemáticas
3. Tendencias generales actuales
3.1 Una consideración de fondo. ¿Qué es la actividad matemática?
3.2 La educación matemática como proceso de «inculturación«
3.3 Continuo apoyo en la intuición directa de lo concreto. Apoyo permanente en lo real
3.4 Los procesos del pensamiento matemático. El centro de la educación matemática
3.5 Los impactos de la nueva tecnología
3.6 Conciencia de la importancia de la motivación
4. Cambios en los principios metodológicos aconsejables
4.1 Hacia la adquisición de los procesos típicos del pensamiento matemático.
4.2 Sobre el papel de la historia en el proceso de formación del matemático
4.3 Sobre la utilización de la historia en la educación matemática
4.4 La heurística («problem solving») en la enseñanza de la matemática
4.5 Sobre la preparación necesaria para la enseñanza de la matemática a través de la resolución
de problemas
4.6 Diseño de una reunión de trabajo en grupo
4.7 Modelización y aplicaciones en la educación matemática
4.8 El papel del juego en la educación matemática
4.9 Importancia actual de la motivación y presentación
4.10 Fomento del gusto por la matemática
5. Algunas tendencias actuales en los contenidos
5.1 ¿Un desplazamiento hacia la matemática discreta?
5.2 Impactos en los contenidos de los métodos modernos de cálculo
5.3 Hacia una recuperación del pensamiento geométrico y de la intuición espacial
5.4 Auge del pensamiento aleatorio. Probabilidad y estadística
6. Desiderata
6.1 Atención a la formación inicial y permanente de los profesores de matemática
6.2 Atención a la investigación en educación matemática
6.3 Atención a la educación matemática de la sociedad. Popularización de la matemática
6.4 Atención al talento precoz en matemática
Bibliografía
Tendencias actuales de la educación matemática
En el año 2000, en cierta manera como colofón del Año Mundial de las Matemáticas, se celebró en Bilbao un interesante Congreso sobre Educación Matemática. Fue para mí una magnífica ocasión de actualizar muchas de las consideraciones del artículo anterior. Lo que aquí se presenta es el trabajo (en html) que me sirvió para la conferencia que ofrecí en este congreso.
Indice
Una situación de cambio en la Educación Matemática
Tendencias generales actuales
Cambios en los principios metodológicos aconsejables
Tendencias en los contenidos
Desiderata
Una traducción al francés (Michel Rodríguez) del artículo anterior
La Asociación de Profesores de Matemáticas de Francia me invitó a dar una conferencia en su reunión de 2001 en Lille. Michel Rodríguez se encargó de preparar una versión del artículo anterior, que se puede ver a través de este enlace en forma extensa y a través de este otro en esquema.
Del lenguaje cotidiano al lenguaje matemático
Las notas que aquí se recogen fueron escritas inicialmente para mis alumnos en la Facultad de Matemáticas de la Universidad Complutense como ayuda para introducirse en la forma de lenguaje utilizada en el quehacer matemático. Fueron publicadas por primera vez en en 1997, en el número especial de Epsilon, Revista de la Sociedad Andaluza de Educación Matemática «Thales», dedicado a la memoria de nuestro amigo Gonzalo Sánchez Vázquez. Por su carácter práctico vienen siendo de utilidad para los alumnos que comienzan sus estudios en la Facultad.
Iniciación al quehacer matemático
Esta sección contiene una versión inicial de mi contribución a un proyecto de la Editorial Anaya dirigido por José Manuel Gamboa que tiene por finalidad ayudar a los estudiantes que inician su aprendizaje en matemáticas. Contiene una primera parte dedicada al estudio del habla peculiar que en matemáticas se utiliza, una segunda parte que presenta los tipos de demostración más usuales utilizados en la práctica matemática y una tercera parte que trata de generar las actitudes mentales más propicias para afrontar la resolución de problemas matemáticos. (Aquí se enlaza con versiones en PDF. En las carpetas del CD se puede ver una versión en TEX de los mismos textos).
El aprendizaje de la Geometría hoy
Este es el esquema de una conferencia que he tenido ocasión de ofrecer varias veces relativa a la necesidad de renovar la enseñanza de la Geometría, que fué materia un tanto malparada tras las exageraciones que tuvieron lugar en la enseñanza como resultado de las tendencias formalizadoras de la «matemática moderna». Pienso que todavía nos falta algún camino por recorrer hasta lograr que la Geometría adquiera en nuestra educación el lugar que merece.
¿Dónde estamos y por qué?
Los valores de la geometría
Su función central en el desarrollo de la matemática
Acorde con nuestra forma de conocer: visual, intuitiva, gráfica,…
¿Qué recuperar de la geometría en la enseñanza?
Objetivos posibles de la geometría
¿Cómo?
Las actividades tradicionales de la geometría
Acudiendo a las nuevas formas de Geometría
El papel del ordenador en el aprendizaje de la geometría
Instrumentos para la práctica
El papel de la visualización
Este es el capítulo 0 que sirve de introducción a la obra El Rincón de la Pizarra. Ensayos de visualización en análisis matemático (Pirámide, Madrid, 1996). Este capítulo contiene ideas generales sobre el importante papel que una visualización correcta desempeña en el aprendizaje, exposición, investigación,… matemáticos y fue escrito a fin de contrarrestar cierta tendencia que me parecía excesiva hacia los desarrollos formales prematuros en el quehacer matemático en general. El resto del libro se dedica a aspectos concretos de la visualización en el análisis matemático. Creo que el libro se puede usar con provecho como complemento a los libros de texto en uso de introducción al análisis, como lo he venido practicando yo mismo desde hace años.
Indice
0.1 ¿Qué es visualización?
0.2 Formas de visualización
0.3 La visualización a lo largo del tiempo
0.4 Papel de la visualización en el análisis matemático
0.5 Obstáculos a la visualización
0.6 Visualización sin y con el ordenador
0.7 Bibliografía
Programas de ordenador en la educación matemática
Este artículo, publicado en 1994, aboga por el uso, entonces y aun ahora indebidamente infrecuente, no sólo en los cursos de enseñanza primaria y secundaria, sino también en la universidad, de programas de cálculo simbólico que, bien utilizados, podrían hacer el aprendizaje mucho más atrayente y eficaz.
Indice
¿Ficción o realidad?
Papeles diversos de los sistemas simbólicos
Integrando el ordenador en los procesos de aprendizaje
El camino a recorrer
Bibliografía
Los riesgos del ordenador en la enseñanza de las matemáticas
Con motivo de unas Jornadas sobre la enseñanza experimental de la matemática en la Universidad se me dió el papel en esta ocasión de tratar de actuar como abogado del diablo. Traté de hacerlo del mejor modo que supe, tratando de poner los ojos en los desvíos a los que formas inadecuadas de utilización del ordenador puede conducir en el aprendizaje de las matemáticas. El artículo apareció en las Actas de las Jornadas publicadas por Manuel Abellanas y Alfonsa García.
Indice
1. Presencia del ordenador en la enseñanza
2. Riesgos de la matematización e informatización de la cultura y de la ciencia
3. Los impactos del ordenador sobre la matemática y sobre su aprendizaje
Referencias
El papel del matemático en los problemas de la educación matemática
El tema de las relaciones de los matemáticos con quienes se dedican preponderantemente a la educación matemática y con otros grupos de personas con diferentes tareas, como las que tienen que ver con las relaciones con la sociedad en las que la actividad matemática se desarrolla, me ha parecido siempre muy importante para que en nuestro tiempo tenga lugar una labor coherente y eficaz de la comunidad matemática en diversos aspectos.
En 1996, con ocasión del ICME (International Congress of Mathematics Education) celebrado en Sevilla, tuve ocasión de presentar mis ideas sobre este asunto. Pienso que la situación ha ido mejorando en los últimos años con respecto a los problemas de entendimiento entre los diversos grupos y que la sensibilidad en relación con la educación matemática ha aumentado mucho en la comunidad.
Indice
La tarea de la comunidad matemática
Las subtareas concretas
Las subcomunidades
Algunas preguntas en relación con el tema central
Una razón poderosa para la implicación del matemático: la propia enseñanza, la propia comunicación
Las aportaciones específicas del matemático a la educación matemática
La necesidad de colaboración con los otros miembros de la comunidad matemática
Algunos buenos ejemplos. Diversidad de formas de actuación
Posibles tareas concretas ahora
ICME Québec 1992 (Discurso de Inauguración del Congreso)
En 1990, en la Asamblea General de la Unión Matemática Internacional (IMU) celebrada en Kyoto (Japón), fuí elegido Presidente de la Comisión Internacional de Educación Matemática (ICMI) para el período 1991-1994 y fuí reelegido en para el mismo cargo en 1994 en la Asamblea de la IMU en Zurich para el perído 1995-1998. Como presidente de dicha comisión he tenido en diversas ocasiones la opotunidad de hablar sobre los problemas de la educación matemática a nivel internacional. En Québec lo hice para estimular a la comunidad matemática hacia un espíritu de solidaridad en lo que a la educación matemática se refiere, de modo que los países en mejores condiciones, económicas y educativas, trataran de esforzarse en ayudar de diversas maneras a aquellos paises que son deficitarios en oportunidades para la cultura y educación.
La Comisión decidió proponer la realización de un Proyecto de Solidaridad del que se van derivando unas cuantas acciones más o menos importantes.
The origin and evolution of mathematical theories. Implications for mathematical education
En el Comgreso Internacional de Educación Matemática de Québec de 1992 que he mencionado antes presenté esta conferencia que explora las ventajas que el conocimiento del desarrollo de un campo de estudio matemático concreto puede ofrecer para quien trata de introducirse correctamente en él, no sólo en lo que se refiere al aprendizaje del tema, sino incluso para quien trata de investigar en el campo. Como caso concreto tomé en esta exposición el de la diferenciación de integrales que a mí me había ocupado unos años antes.
Introduction
What knowledge about the history of mathematics and about a particular subject can offer the student
A case study: the differentiation of integrals
The beginning: the Lebesgue differentiation theorem
Vitali’s covering theorem
The Lebesgue differentiation theorem in R2
The value of paradox
An impasse concerning the strong density problem (1924-1934)
The role of a good game
Different lines of thought concerning a theory
The versatility of mathematical tools
After climbing the peak
The abstract and the concrete
References
Difficulties in the Passage from Secundary to Tertiary Education
Este es el texto correspondiente a la intervención que en el ICM de Berlín tuvimos conjuntamente B. Hodgson, A. Robert, V. Villani y yo. Se trataba de analizar las dificultades que se les suelen presentar a los estudiantes de todas partes del mundo en su introducción desde la enseñanza secundaria a la universidad en lo que al estudio de las matemáticas se refiere.
En nuestro artículo se proponen también unos cuantos posibles remedios a estos males universales.
Introduction
1 The point of view of the student
2 Perceptions of the university teacher
3 Types of difficulties in the secondary-tertiary
transition
3.1 Epistemological and cognitive difficulties
3.2 Sociological and cultural difficulties
3.3 Didactical difficulties
4 Possible actions in order to help alleviating these difficulties
References
Posibles remedios al fracaso universitario en matemáticas
En varias ocasiones a lo largo de los últimos años he tenido ocasión de participar en programas que se preocupaban por remediar el actual fracaso relacionado con las matemáticas de muchos estudiantes que ingresan en las Facultades y Escuelas de nuestras universidades. En esta sección se propone información interesante sobre este problema y algunos posibles medidas que podrían ayudar a resolverlo.
El sentido del ICMI hoy
Este es un breve artículo publicado en la obra Las Matemáticas del siglo XX. Una mirada en cien artículos que Antonio Martinón recolectó para la editorial Nivola y a revista Números de la Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas. En él se señalan los papeles más importantes que el ICMI podría desempeñar en la actualidad.
El tratamiento educativo del talento especial en matemáticas
En repetidas ocasiones he señalado la necesidad de que en nuestro país se concediera atención al talento matemático que a veces se puede detectar fácilmente en una edad temprana.
En 1998 la Real Academia de Ciencias puso en marcha un proyecto piloto que venía a dar una respuesta inicial a esta necesidad. En este trabajo se pueden ver algunas de las ideas que nos guiaron en su elaboración inicial.
El tratamiento educativo del talento especial en matemáticas
1. El problema
2. Identificacion del talento especial en matematicas
3. ¿Qué es lo que se hace por los especialmente dotados?
4. Un proyecto realista para una de nuestras grandes ciudades
5. ¿Cómo se han logrado aquellos que han resultado ser excepcionales?
Anotaciones al estudio de B.S.Bloom y su equipo.
Una descripción del proyecto pedagógico puede verse en este artículo: Miguel de Guzmán, Una descripción del Proyecto «Detección y estímulo del talento precoz en matemáticas en la Comunidad de Madrid», Bordón. Revista de Pedagogía 54 (2 y 3), 2002, 255-268.
Tensegridad. De la escultura a la célula
La tensegridad, introducida por Kenneth Snelson como una escultura intrigante en los años 40, fue apadrinada con entusiasmo por Buckminster Fuller más adelante. Las matemáticas de la tensegridad, aún relativamente poco conocidas, son muy interesantes. La posible explicación de la arquitectura del citoesqueleto y otras aplicaciones modernas en arquitectura, industria aeroespacial,etc. han puesto la tensegridad en el centro del interés de muchos campos de la ciencia y del arte. En 2002 fue publicado este artículo: Miguel de Guzmán, Tensegridad. De la escultura a la célula, Ars Medica. Revista de Humanidades Médicas 1 (2002), 166-176. En él se explica el origen de la tensegridad y algunos de los aspectos matemáticos relacionados con ella.
Problemas de la Educación Matemática en la Universidad.
Aquí se puede encontrar el material puesto a disposición de los asistentes en una mesa redonda en la Facultad de Matemáticas que se celebraró el 27 de abril sobre los problemas de la educación matemática en la Universidad
La educación matemática en riesgo (Miguel de Guzmán)
Breve artículo que trata de alertar sobre el peligro que la educación matemática a nivel primario corre en la actualidad por razón de una adecuada planificación de los estudios de quienes han de ser educadores en este nivel. La formación específicamente matemática casi ha desaparecido de su formación.
En torno a la solidaridad en educación matemática
En 1992 se celebró el ICME-7 (Seventh International Congress of Mathematical Education) en Québec, Canada. En su inauguración tuve ocasión de decir unas palabras en torno a este tema, sobre el que desde hace tiempo he venido pensando.
Jornada de celebración del Año Mundial de las Matemáticas en el Congreso de los Diputados (21 de enero de 2000)
El 21 de enero de 2000 el Congreso de los Diputados celebró una Jornada dedicada a la Celebración del Año Mundial de las Matemáticas. Entre los actos realizados a lo largo de ella tuvo lugar una mesa redonda sobre La Enseñanza de las Matemáticas en España, con la participación de Luis Balbuena, María Jesús Luelmo, María Victoria Sánchez, Sebastiá Xambó y Miguel de Guzmán. La aportación de cada participante puede verse íntegra pulsando sobre su nombre. También están aquí recogidas las conclusiones finales que fueron acordadas por los panelistas por unanimidad.
Problemas actuales de nuestra educación matemática primaria y secundaria
El 5 y 6 de Febrero de 1999 la Real Academia de Ciencias organizó en Madrid una reunión de representantes de las principales organizaciones que del país que se ocupan de la actividad matemática bajo diversos aspectos a diversos para explorar los problemas actuales de nuestra educación primaria y secundaria. El documento final, resultado de esta reunión, aparece aquí recogido.
Otra reunión fue celebrada en la Real Academia de Ciencias el 16 de Octubre de 1999 sobre The training and performance of primary teachers in mathematics education. Las interesantes contribuciones de los ponentes, que informaron sobre la forma de proceder en sus países respectivos, pueden verse pulsando sobre el nombre de cada uno de ellos: Erich Wittmann (Alemania),Fred Goffree (Holanda), Julianna Szendrei (Hungría), Bengt Johansson (Suecia), Luis Rico y José Carrillo (España).
